在沒有摩擦、邊界完全彈性碰撞的撞球桌上，朝任意方向擊打一個球，經過無數次反彈後是否必然能夠落進球洞？

12-05

假設球在桌邊上的反彈路徑遵循光的反射原理（其實把這個球當做光線也是一樣的），且球洞設置正常，即在四個角以及兩條長邊的中心。
額不好意思，是自己沒表達清楚，既然是問任意方向，那麼垂直於桌邊擊打只能說明一個特殊方向的例子，主要還是考慮這個問題的一般解。
題主知識水平還是高三，有些回答中的概念不太清楚，非常感謝大家能給出更為具體的回答，當然我也會自行百度並理解：）

如果給球撞擊的那邊加裝一面鏡子，桌面看起來就變成這樣：

可以看成球穿過鏡子走了直線，真球進洞，鏡子里的球也進洞。

給四邊都加上鏡子，桌面看起來就是無限的平面上排滿洞，球的其中一個像始終走直線：

不讓球進任何洞就可以了。那一共有多少方向呢？
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１。如果把洞和球都看成「點」，那有多少洞就有多少進洞線路唄：

所以進洞的路線與整數的數目相同。

如果把洞的距離看成單位１，把球放在任一洞上，並把這洞當成坐標原點畫個坐標，那所有進洞路線的斜率正好是全體分數（有理數）：

所以進洞的路線與有理數的數目相同，不進洞的路線與無理數的數目相同。
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下面不太好理解：

２。如果洞口有半徑，而球還是點：

換個角度，把洞口排成高樓，球與每層虛線相撞時，都在地上留個影子。只要影子沒在洞口裡球就沒進洞：

這就像是一個小人兒穩步走在有坑的路上，問：步子邁多大才能永遠不掉坑裡？

再簡化：如果把路捲成一個圓，讓所有洞口的位置重合（圓周長為１），變成一個洞口，圓周上踩出的腳印會有多密？

想一想會發現：只要步長是有理數，當小人走過足夠多步之後，腳印就會重合，之後就不再變密。因為有理數可以寫成分數 $frac{m}{n}$ （ $m$ 和 $n$ 都是整數）的形式，所以只要走 $n$ 步，就正好走了 $m$ 圈，踩到自己第一個腳印。所以圓周上的腳印最多也不會超過 $n$ 個。

對應撞球的問題就是：如果以有理數斜率擊球，球在有限次撞邊後軌跡一定會重合，第一次重合前如果沒進洞，以後就沒有機會進洞了。

那如果步長是無理數呢？那無論小人走多少步，也踩不到第一個腳印，同理踩不到任何一個腳印，腳印越來越密，就相當於用越來越小的步子來走：

步子小到比坑還小時，坑就邁不過去了。所以斜率是無理數時，球就會進洞。但要注意，這裡的「有理數」「無理數」其實是球桌長寬比值的「有理數倍」、「無理數倍」。

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轉自被封賬號。

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知友提供的凹多邊形照明問題視頻： https://youtu.be/xhj5er1k6GQ

(我有無限個角度可以親到她, 但是這些角度的概率加和為0)

(知乎上有上億人可以贊我, 但是這篇文章被點贊的概率竟然為0)

----好好回答問題, 別凈想些沒有用的 -----

---------------評論區 @Bob 牛評論:

"不考慮半徑時，有理數代表能進，無理數代表不能進，考慮半徑時剛好反過來"

我真懷疑究竟有多少人看懂了. 既然是知乎, 就不再解釋了.

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由於來回反射, 並不是分析問題的一個好思路, 應該採用對稱的方法, 將整個撞球桌無限擴展.

如下圖:

這時問題轉化為, 畫任意一條直線, 與格點相交的概率問題.

結論是:

1) 存在無限多個與格點相交的直線, 如果相交於(m,n)點, 對應m/n有理數的數量

2) 存在無限多個與格點不相交的直線, 對應所有無理數的數量

3) 因為有理數遠小於無理數的數量, 兩者比值為1:無窮大, 或者0:1, 所以

我們會以概率為1無限次反彈, 而以概率0在有限次內入洞,

而概率0的實現方式竟然有有理數無窮大那麼多種實現方式.

------------技能冷卻一下, 準備放大招 ------

但是, 對的, 我是說但是.

當球的直徑比洞的直徑小的時候, 那麼結論就很有趣了.

問題轉化為, 只要球心通過以上格點為圓心, 洞直徑減去球直徑為直徑的圓即為進洞.

那麼, 這時問題是非常難的一個題目,

連描述這個問題我都覺得要用演算法. 但是結論很有趣:

我們以概率1經過有限次反彈入洞, 而以概率0進行無限次反彈, 只要以上洞的直徑比球的直徑大, 只要大r&>0, 哪怕r=0.000000000000000000000000000000000000000000000001.

-----------感慨一下--------

一個微小的變動, 從0到10E-100, 則概率從0變成概率為1, 而另一個概率為1的事件變成概率為0,

慨嘆!

很有意思的問題，正好曾經有一款遊戲試圖模擬過類似的環境，就是1985年發售在紅白機FC上的《月宮撞球》（Lunar Pool）。見有答主提到這個遊戲了，這裡再詳細展開下。

這個遊戲里可以設定摩擦力的，就是下圖紅框的地方。

實際玩起來長這樣：

小時候我遊戲水平不行，加上這個遊戲的撞球桌面到後面特別奇葩，啥扭曲形狀都有，玩著簡直吐血，像下面這種，還算是相對正常的。

所以當時我就把摩擦數值改到很小，好處就是打一桿球能自己能跑比較久，增加進球率。如果把摩擦數值改到0，球一旦運動起來，就能動很久，最後很容易進球。

答這個題時簡單搜了下，國外還真有人錄了個摩擦力為0時的遊戲通關視頻，所以搬運了過來，大家看著更直觀一些。

在摩擦力為0的環境下打撞球會怎樣？_騰訊視頻v.qq.com視頻

從視頻里可以看到，因為球能運動比較久，因此很多時候打一桿就能進很多球。但在一種情況下，球會停下來，就是發生類似「牛頓擺」的效應時，運動中的球會將動量完全傳遞給其它球，自己失去全部動能而停止，從這一點來看，當年這個遊戲還蠻科學的啊。

PS.其實理論上並不能總入洞，會有無限在桌面上循環運動的情況，因為FC數值運算和進球判定的關係，才導致總是進球的結果，這方面的理論探討可看本問題的其它高票答案。

這其實是一種照明問題的特殊形式，一般認為撞球桌為有理凹多邊形。在B站上看到的

鏈接【Numberphile】照明問題@圓桌字幕組_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩

首先物理簡化一下——認為只有撞球與球洞嚴格同心，球才會落袋。同時球嚴格走直線、嚴格遵循反射定律。

然後數學等效一下——把碰撞看成一種鏡像過程，問題等價於：在二維無限矩形格點上，任意畫一條直線，是否一定會經過某個格點？

再代數等效一下——令相鄰的撞球洞的距離為單位長度，問題就變成：二維坐標繫上的任意一條直線，是否一定經過點P(a,b)，使得a、b同時為整數。

設直線斜率為k，初始位置為(a0,b0)時：

由於有理數 x 無理數 = 無理數，對於方程y-b0=k(x-a0)

若k為有理數，a0為有理數，b0為無理數時，x、y不可能同時為有理數——很容易證明，k為有理數時，即為周期解的情形；

若k為無理數，a0、b0同時為有理數時，x、y不可能同時為有理數；

結論：無論朝哪個方向擊打撞球，總能找到一個合適的初始位置，使得無論經過多久，撞球都不會落進球袋。

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對於任何問題的求解，都有其簡化和抽象，這裡提出一個高度簡化的求解，也是討論一個問題最初的第一步。個人並不認為建立一個具有通用性的方法是沒有意義的。在這個方法的基礎上，進一步考慮球比洞小也並不難，只需要找到間距為直徑之差的兩條平行線，中間沒有格點即可。這種情況下，解的個數是有限的，覺得本人這個回答太過簡單的同學可自行求解。

另外，個人不接受「找到一個反例就行了，更多的討論沒有意義」這樣的觀點。既然這裡是知乎，回答問題之餘，再深一步，創建一類方法，尋找問題的普遍解，似乎並無不妥。

不行，垂直於一個邊打，只能來回反彈

否。
存在有周期性的軌道。

稍微拓展下：
那麼對於不同形狀的撞球桌是否還存在周期性的軌道呢？
這是個未解的問題

題主這個迷之問題我在打撞球的時候也開過腦洞，如果做一點近似，那其實可以建一個簡化的數學模型來討論這個問題。

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其實撞球桌的幾個洞並沒有想像中那麼地規則，而且打過撞球的胖友應該也知道球不一定要完全地跟球洞同心也能進球。下圖撞球桌不一定標準，但是足夠像了

首先我們來做一些考慮：

球和洞都是佔一定空間的（撞球是理想光滑球體，洞是有一定面積的圓）
桌邊的寬度我們忽略了吧，好不好-。-
可以feel到，理想的撞球只有一個點是跟球桌接觸，所以這裡假設球的底部（一個點）處於洞的區域，那麼球就會滾進洞里。（這和有些答主的「球洞是一個點」的假設不一樣，雖然菜雞如我大概平均要兩桿一球，但撞球真的沒這麼難進袋- -）

作出這些考慮和基本的近似之後，我們就可以把撞球抽象為一個點，球洞為圓，而問題就是二維平面上的幾何問題。

有一點要注意到，就是撞球桌其實是非常地對稱，所以看到下圖，如果我們把撞球桌緊挨著密鋪在整個xy平面上，1-2-3-4-5的反彈路徑其實可以等價於1-2』-3』-4』-5』這一條直線「虛」路徑。就是只有左上角的圖，即撞球起始位置所在球桌是「真球桌」，其他都是假想的（經過旋轉、鏡像複製出來的）「虛球桌」。

抽象一下，問題就等價於，在一個二維平面上，有無限個半徑為R的圓（球洞），圓心坐標

$(k_1w,k_2h),k_1in Z,k_2in Z$

其中w,h在上上幅圖裡定義了

然後我們在這個平面上任選一個不在球洞里的起點（起始在球洞里不就進了嘛- -），然後畫一條射線，看看這條射線會不會跟任意一個圓相交。如果有交點，那麼球就在那個圓對應的球洞里進球，也就不會無限反彈了。

射線的發射角度很關鍵，因為發射角度在某個範圍內的話，球最終會進。

如圖，每個淺紫色的放射型區域都佔領了一定的角度範圍，而每個圓都可以求出這麼一個角度範圍

$( heta_1, heta_2)_{k_1,k_2}$

把所有的放射形區域的角度範圍求個並集。

如果撞球發射角度在這些角度的區間並集之內，那麼就意味著球最終能進袋。這個角度區間我比較菜，感覺挺難求的，但是憑直觀的感覺，可以認為球進袋的概率極大（考慮到平面上有無數個圓，概率其實就是1），360度的發射角度中有絕大部分的角度都能進袋。而垂直出射是不進袋的一種特解，這個用上圖來分析也可以得到這個結論，至於其他的特解，是存在的，但是我給不出公式- -。這跟一些答主的結論「考慮數域稠密性而得出進袋概率為0」不同，原因應該就是「球洞是點還是圓」這個基本假設不一樣吧

歡迎討論和吐槽=。=反正這一波分析也是非常真空中的球形雞

由於有理數在實數中微不足道。

所以如果洞的大小不可忽略，則以概率1進洞。

（應該有一個臨界值，當洞的大小超過到臨界值時，必然進洞，臨界值的大小取決於撞球桌的大小和形狀以及洞分布，對於普通的矩形撞球桌，這個臨界值是寬度的一半，不過這個情況很無聊。）

而如果把洞的大小抽象成一個點，則以概率1不進洞。

為什麼你們就不能列一個方程？最高票的看起來比較簡單，其實還是複雜化了，而且要求起始位置在球洞上。

另外，他的第二種假設（即球洞是洞，球為質點），忽略了一些切線導致的問題。

下面我來給一個最簡單且通用的解法，歡迎討論。