為什麼不能用數學歸納法證明函數項級數的收斂性？

12-05

在講函數項級數的問題時，著重指出了函數項級數的和的極限和函數項級數極限的和是不一定可交換的，就是說 $lim_{}$ 和 $sum_{}$ 兩者不能隨便交換；但如果用數學歸納法結合極限的線性性（例如：證明n=k，滿足 $lim_{x ightarrow x0}{sum_{1}^{k}{f_{i} (x)} } =sum_{1}^{k}{lim_{x ightarrow x0}{} f_{i} (x)}$ ；當n=k+1時， $lim_{x ightarrow x0}{sum_{1}^{k+1}{f_{i} (x)} }=lim_{x ightarrow x0}{sum_{1}^{k}{f_{i} (x)} }+lim_{x ightarrow x0}{f_{k+1}(x)} ={sum_{1}^{k}{lim_{x ightarrow x0}f_{i} (x)} }+lim_{x ightarrow x0}{f_{k+1}(x)} =sum_{1}^{k+1}{lim_{x ightarrow x0}{} f_{i} (x)}$ ）則可以被證明（但顯然這個是不對的）。不懂為什麼不對？另外，高中時的數學歸納法未給出證明，只知道如何應用，後來聽說歸納法只適用於良序集，不知道良序集是什麼，還請指點迷津。

沒錯啊，這個證明是對的。題主利用數學歸納法，證明了對任意的n，前n項求和和極限可以交換。
教科書一般的證明。
然而這並沒有什麼卵用。
因為這並不意味著對於n→inf這個結論也對。

考慮這樣一個命題:對於任意n，1~n這n個整數里有一個最大的
這是一句廢話。
但是n→inf就是另一個問題了，正整數里可沒有最大的

基於自然數集合的歸納法:

性質 P(n), 對於0 成立, P(k)--&>P(k+1) 那麼P對於所有自然數成立

題主的敘述裡面的 P(k): $lim_{x ightarrow x0}{sum_{1}^{k}{f_{i} (x)} } =sum_{1}^{k}{lim_{x ightarrow x0}{} f_{i} (x)}$

其實不用數學歸納法可證明 P(k) 對於任何自然數k 成立

但是, $infty$ 不是自然數, 或者用更通用的符號 $aleph_0$ 不是自然數
-----------------------------------------------------------------------------------------------
另一個平庸的P性質滿足對於所有自然數成立但是對 $infty$ 不成立:

P(k): "k 不等於 k+1" 這裡面的等於的含義可以是集合基數相同或者集合序數相同
-----------------------------------------------------------------------------------------------

謝邀。Hans Spielgarten已經說的很清楚了。數學歸納法針對的是自然數 $mathbb N$ 中的元素，而不是 $mathbb Ncup {infty}$ . 一個平凡的例子是，「n是有界的」。

對於數學歸納法的推廣，是在良基（Well-founded relation）集合上的結構歸納法（Structural induction）。良序是良基加上全序關係，即包含了"在集合中的任何一對元素在這個關係下相互可比較"這一點。

詳細的可以自己查詢一下維基百科或者看看集合論的書。我並不是這方面的專家。

補充良序集的內容。

粗略地說，一個集合A上有類似&<的關係，並且任何A的子集B總有最小的元素。

自然數按照通常的大小關係是良序集，按照選擇公理，任何集都可以規定一個良序。

良序集上的歸納法是，如果比a小的參數都使命題成立，那麼取a時的命題成立。

你的問題應該是，對n取自然數和 $aleph_0$ 都成立，問題是即使所有自然數都成立，對於 $aleph_0$ 卻無能為力。

數學歸納法只能證明有限。例如，可以用數學歸納法證明任意個有理數相加是有理數，其實這裡的任意應該是任意有限個，對於無限個是不對的。 e=2+0.7+0.01+0.008+……無限多個有理數相加得到了無理數。
函數項級數是基於無窮的情形的，你的證明過程是對的，可是沒有得到你想要的結論。