為什麼等差數列的英文是「算術數列」而等比數列是「幾何數列」？

12-05

為什麼等差數列的英文是arithmetic sequence(算術數列），而等比數列是geometric sequence(幾何數列）。等比和幾何有什麼關係嗎？

等差（比）數列被稱為算術（幾何）級數，應該是因為它們的每一項是相鄰兩項的算術（幾何）平均數。所以問題實際上化歸為：為什麼算術（幾何）平均數要叫這個名字。

我猜想這大概是因為算術平均數在做算術的時候比較常用，而幾何平均數有幾何意義。幾何平均的幾何意義包括但不限於：

兩邊長為 $a,b$ 的矩形的面積等於邊長為 $sqrt{ab}$ 的正方形的面積；
設直角三角形斜邊上的高把斜邊分成長為 $a,b$ 的兩部分，則高的長度為 $sqrt{ab}$ 。

一些參考資料：sequences and series

Interesting，關於geometric sequence的命名的疑問我最早還是在幾何增長這個概念中提出來的，為什麼指數增長又叫幾何增長，因此在後續的geometric sequence我也就理解了為什麼叫geometric，因為指數增長是指函數值呈等比數列的增長，又名幾何增長，故等比數列叫做geometric sequence, 然而還是沒有解釋清楚這個geometric是哪裡來的。
然後有一個geometric mean的概念，在x1, x2, x3, ...... xn 里，geometric mean定義為(x1*x2*x3*......xn)^(1/n)，其幾何意義是，在一個n維的長方體，邊長為x1,x2,x3,......xn，其體積與邊長為原長方體的邊長的geometric mean的n維的立方體的體積相等。
所以，等比數列的命名應該是參考，除去第一項以外，每一項都是前一項與後一項的geometric mean，具體表現為三維的長方體。
至於等差數列為何叫arithmetic sequence，我想應該是因為加法是算術中最基礎的一個過程，故稱為arithmetic 吧。

a,b的算術平均數： $x=frac{a+b}{2}$ （Arithmetic mean）
a,b的幾何平均數： $x=sqrt{ab}$ （Geometric mean）

等差數列： $a_{n}=frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}$
等比數列： $a_{n}=sqrt{a_{n+1}a_{n-1}}$

類比：
等差數列 $Rightarrow$ 算術數列
等比數列 $Rightarrow$ 幾何數列