自然數到底是否包括「0」？

12-05

在網上查了查，有說是的，有說不是的。難道沒有定論？

按照現行課本，小學階段，自然數包括零。
初中及以上階段，個人建議規避這一說法，改用「非負整數」或「正整數」來表達你希望表達的意思。
（非負整數這一概念在初一第一章有理數當中講授。）

這樣做的原因，人教論壇中轉帖了這樣一篇文章，從撰寫人頭銜來看，應當可以算作官方解釋：
(自然數中最小的偶數是多少？,17樓，該樓所給「原帖地址」已失效。)

「0也是自然數，最小的自然數是0」
小學數學課程教材研究開發中心丁國忠

一、教材第20頁提到「0也是自然數，最小的自然數是0」，這與九年義務教育小學數學教科書中的說法不一致。這什麼要做出這樣的改動？

從歷史上看，國內外數學界對於自然數的定義一直存在著兩種觀點。

一種觀點認為0不是自然數。例如, 義大利數學家皮亞諾於1889年提出了一組刻畫自然數特徵的公理，包括以下五條：（1）1是自然數。（2）任一自然數都有唯一自然數為其後繼數。（3）沒有兩個相異的自然數有同一後繼數。（4）1不是任何自然數的後繼數。（5）如果1具有性質P，且任何具有性質P的自然數其後繼數也具有性質P，則一切自然數都具有性質P。從這組公理可以清楚地看到，皮亞諾把0劃歸在自然數之外的。再如，上海辭書出版社出版的《辭海》（1999年版）把自然數解釋為：在人類歷史發展的最初階段，由於計量的需要，用以表示個數的數目。首先有數目一，以後逐次加一，即得二、三、四等等，統稱為「自然數」。建國以來，我國的中小學教材一直採用自然數的這種定義，用N={1，2，3，4，5，…}來表示自然數集，而用N*={0，1，2，3，4，5，…}表示擴展的自然數集。

還有一種觀點把0劃歸為自然數的範疇。例如，對現代數學基礎有很大影響的法國布爾巴基學派的《數學原本》中，從集合論的角度，把0作為空集的基數，這樣，所有有限集合的基數就都可以用自然數來刻畫了。目前，國際上大多數國家也把0納入自然數集中。為了國際交流的方便，國家技術監督局於1993年12月27日發布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100～3102-93）《量和單位》第311頁，就已經規定自然數集N={0，1，2，3，…}。在《現代漢語詞典》2005年6月第5版中也把自然數定義成：零和大於零的整數，即0，1，2，3，4，5，…。

根據上述原因，教材研究編寫人員在對原九年義務教育教材進行修訂和編寫課程標準實驗教材時，依據有關國家標準對自然數的定義進行了修改，規定0屬於自然數。

特別的，由於0的引入，在小學「整除」部分的教學中，有不太嚴謹的部分。
在這裡，一般建議模糊處理，不引導學生關注這些問題。

0是否算作偶數，在各版本教材中有不同處理，無法一概而論。（囧囧有神……）

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一部分相關教材的截圖：

a) 人教版：

「0也是自然數。最小的自然數是0。」四上P20

「為了方便，在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是整數（一般不包括0）」五下P12

「自然數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數）」五下P17

b) 北師大版：

「像0,1,2,3,4,5,6……這樣的數是自然數。」五上P2

「我們只在自然數（零除外）範圍內研究倍數和因數。」五上P2

另外，北師大版教參明確提到：

「需要強調的是，本教材所指的『奇數、偶數』只限於非零自然數（即正整數）範圍，不包括數零，當然，這是一種規定。所以，教學時，教師不宜給學生補充『0也是偶數』的內容，這樣做既沒有必要，又容易引起概念混亂」。五上P8

（這個網路上似乎沒有掃描圖片）

c) 蘇教版：

「0也是自然數。」三下P100

「為了方便，我們在研究倍數和因數時，所說的數一般指不是0的自然數」四下P70

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另外，國家規定方面，除了前文提到的：

1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB3100-3102-93）《量的單位》（11-29）第311 頁，規定自然數包括0。

網路上也有人提到：

國家技術監督局於1994年11月發布的《中華人民共和國國家標準：物理科學和技術中使用的數學符號》中，把數0列入自然數，並規定自然數集記為N= ，而將原自然數集稱為非零自然數集，記為 $N^{+}$ 或N+

不過這兩個文件我都沒有查到電子版，不知是否有哪位有紙板可以拍照來看看。
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感謝 @Smallay提供的資料，電子版鏈接請從評論中查看。這兩條指的是同一個文件，93年批准、94年實施。

當然包括
Peano公理第1條就是

$0$ 是一個自然數.

現行的數學教材中，自然數都是包括0的。其原因是，現代公理集合論對自然數有嚴格而明晰的構造性定義，即：
$0=varnothing,$
$1=0cup{0}={0}={varnothing},$
$2=1cup{1}={0,1}={varnothing,{varnothing}},$
$3=2cup{2}={0,1,2}={varnothing,{varnothing},{varnothing,{varnothing}}},$
……………………
$n+1=ncup{n}={0,1,dots,n},$
……………………
當然，如果你在上面的第一步里把1定義為空集，從數學上來說也不會有什麼問題。但是，「0=空集」更符合人們的直觀。所以，現在大家都約定俗成地認為自然數包括0。

關於自然數的更多信息可參考英文版的維基百科：Natural number

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
的確＂沒準＂，傳統上不包括，但後來有人包括了。
這不是問題，寫文章都會在開頭說明約定的術語。
推薦乾脆用＂正整數＂，＂非負整數＂來消歧義。

現在一般是包括零了不過定義現在一般不會用自然數了都用正整數非負整數什麼的這種定義更確切

在數論和集合論貌似不同。
現有上海版高中教科書定義N（自然數集）中含有零，而用N*表示不含零的自然數集，意義和Z+（正整數集）相似。
依照自己的理解，0的存在是必要的。比如趨近於0等等日常的使用。

不包括，因為0並不自然，是一個創造出的概念。

拿Peano公理說事兒的更是可笑，這麼一個東西可能不是人為設計的么？

為了國際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB 3100~3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。

06年我們讀小學時，剛好是把零划出自然數那一年。

peano公理系統中0是最小的自然數。建議使用時註明正整數或非負整數，盡量少用自然數。

有定論，0不是自然數字。
至於為什麼，理由參考-為什麼1不是質數。
首先0是整數，但其不是一個actual number。
歷史上，自然數是用來計數的數字。
過去人們從1開始計數。0是後來才加入的。

Keith Devlin at STANFORD UNIVERSITY

自然數實際上是一個數學概念，表述日常生活中的可數的數，關於他的性質很早就有爭論，皮亞諾在拉丁文諸《算術原理新方法》中用非形式化的方法敘述如下（以及我的補充說明）：

①1是自然數；
②每一個確定的自然數 a，都有一個確定的後繼數a" ，a" 也是自然數；

說明：一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等。

③自然數的後繼都不相同；

說明：為了避免一個自然數出現多個後繼，或者多個自然數的後繼是一個自然數。

④1不是任何自然數的後繼數；

說明：為了避免像錶盤數那樣的循環。

⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n" 也真，那麼，命題對所有自然數都真。

說明：此乃數學歸納法，整個學生時代，我們都在用它證明問題。然而它確實有隱患的，下文說明。

最早的版本皮亞諾的自然數定義是以1為起始，這樣只要定義了1+1＝2，就定義了1的後繼為2，根據公理5，同時也就定義了自然數內的加減法。在這裡，0是由「夠減」定義出的數。

若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。然而0是特殊的自然數，規定0的後繼要使用0+1而不是0+0，即僅通過自然數0及加法規則無法定義它的後繼，一些數學問題要單獨對0進行說明。0定義的皮亞諾公理雖然自洽，但在一些數學定義上存在表述問題，故最早自然數的定義不包括0。

而後我國中小學教材對自然數的定義曾有過變更，教材中的自然數更偏向於說明：自然界中可數的數。0作為非的概念，本身表示不存在，究竟是否可數存在爭議。最終，根據馬克思主義哲學矛盾論的觀點，0作為非有它客觀意義，應該編入自然數，故後續中小學教材自然數定義中存在0。

我其實要表述的是，自然數含不含0隻是人為定義，並沒有真理。首先「公理」本身就是依據人類理性的不證自明的基本事實，他有被推翻的可能性，再者皮亞諾公理的初等數論本身就是有缺陷的——它滿足哥德爾不完備定理。

根據哥德爾不完備定理，數學歸納法存在悖論隱患，只要是皮亞諾公理定義的形式系統必然存在不能證真和不能證偽的命題。

數論一直是作為我們認識自然世界，學習客觀規律的工具，其基於形式系統而定義，而形式系統即人類語言的抽象，即編碼定義加上某種轉換規則，它連接了現象與認知。哥德爾不完備定理說明凡是存在初等數論描述的自洽形式系統，必然存在不能證明和不能證偽的命題，它的證明比較複雜，但核心很好理解，就是在這樣一個形式系統中找出這樣一個命題：只要它成立它的反命題一定成立，具體便不做展開。令人遺憾的是。我們的計算機程序就是這樣的系統，意味著現階段的計算機永遠無法達到真正的人工智慧。

無窮級數裡面0是算自然數的

0不是自然數啊楊冪他大爺這麼說的

國內包括，我在日本讀書，不包括

自然數自然在它能表示事物的數目。但這是一個日常生活概念，轉化成數學語言，事物需要確定一個集合，於是就可以這樣理解
當 $mathrm{card}(A) eq infty$ 時， $mathrm{card}(mathrm{A}) in mathbb{N}$ ，即所有集合元素數目均為自然數。
因為 $mathrm{card}(oslash) = 0$ ，所以0也是自然數。

吐槽一下：我們小學一年級的時候，記得很清楚是不包括零的；二年級的時候，有個同學留級了，他告訴我說老師講得不一樣，當時我很詫異，感覺是那個老師在瞎教呢。

包括

包括，記得我上小學的時候，教科書上不包括，後面的版本上，0是自然數，0就是沒有的意思，自然界中肯定存在撒！