數學解題能力本質上是一種什麼樣的能力?

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這問題問得好，很有啟發性！

答主很希望立刻把這個問題 準確、完整地回答出來，但這並不容易。

為什麼一上來就會有 立刻、準確、完整 這樣的傾向呢？答主自己也很疑惑，但這是答主面對問題的第一反應——把問題看成是 需要儘快，儘可能准，儘可能完整地幹掉的東西。

但這樣真的可行嗎？如果沒弄懂問題是什麼，就急著去解決，那麼很可能會偏離解題的本質。

在說明解題能力之前，先說說什麼是解題，一句話概括：

解題就是 專註 + 試錯，而有效的解題就是指 有選擇的專註 + 有進展的試錯。

具體說來，解題是一種智力活動，在這個活動中，解題者把自己的注意力完全投注在某個 看似有通路，但實際搞不清通路究竟長什麼樣子的「問題黑盒子」上面，反覆嘗試各種可以通過的方法，並且在試錯的過程中，建立思維模型，直到最後把&<問題黑盒子&>內部的通路全面摸清楚，從而達到融會貫通的過程。

但如果反覆嘗試過總是走不通，也不一定要一直跟問題死磕，可能需要反過來找出走不通的確鑿證據或因果關係。

純粹用文字解說太抽象。不妨借用一張講解科學發現過程的信息圖來促進大家的理解。

因此，解題能力的高低就體現在 專註和試錯的效率上——解題者是否能夠儘快專註到 問題黑盒子 背後最值得關注的地方？是否能儘快找到立竿見影的試驗方法去嘗試？

2 一本可以立刻入手的參考書

《怎樣解題 (豆瓣)》或許可以幫你理解解題的本質 + 潛移默化地提升你的解題能力

詳細說明：如果你看過我的另一則答案，就知道，它也是我自己覺得相見恨晚的一本書。 =&> 你有什麼相見恨晚的知識想推薦給年輕人？- 我的一點貢獻，拋磚引玉

為了讓你立刻獲得感性認識，請看下面這張啟發式解題步驟速查表：

暫時先提供這些信息，以後有新的信息再補充進來。

不知道你說的專門是什麼類型的題目，至於我，看到一道題目，自然會聯想起許多與這道題目有關的信息。或者就是把一道題目轉化成自己熟悉的東西。比如證明拉格朗日中值定理，但我們已知的是羅爾定理，好吧，這個叫我自己證明也有點難度，但是那個思路就是會讓你產生聯想，整合自己的知識。我覺得這種能力算是發散思維的能力吧，數學特別需要發散思維。

假設題主問的不是在數學的發展過程中人們遇到的實際問題，而是專門由人編出來用於考察學生對某些知識的掌握情況的習題。因為解決前者的能力實在是超出了我的理解範圍，我實在不明白到底怎樣才能像教科書里那些個如雷貫耳的名字的主人一般推動數學的發展，但是對於後者，我還是有點心得的。
姑且把範圍限定在初高中的那些海量的習題上吧，其實本科的很多課程的習題也差不多，就是用出高考題的思路去擺弄微積分線性空間什麼的。
為了讓我的話有那麼點說服力，先說下自己中高考的數學分數吧，中考是150/150，高考是146/160+40/40，勉強算有點發言權。
我以為這些習題的誕生是有跡可循的，它不是從一個實際問題里抽象出來的，而是根據要考察的知識點生編硬造出來的，所以我認為解題的第一能力就是看清方向的能力：明白出題人想考察自己哪些知識點，這些想到了，基本上大致思路就有了。接下來就是到達目標的能力：就是用你的計算或是論證來完善你想到的框架，也就是基本功。
關於第一種能力的培養，有兩種方法：一種是理解某些知識的建立過程：比如你能自己利用向量的乘積推出高中所有的三角函數公式的時候，沒有什麼和三角有關的題能難住你了；還有一種是靠大量訓練提高熟練度，在頭腦里建立固定映射：看到一個題不是想到定理，是想到自己做過的類似的題，靠回憶已知的解法來解題。
第二種能力的培養就很簡單了，計算能力純靠練習，論證能力嘛，我非常建議諸君看一看數學家們是如何從自然數出發去構造實數模型的，搞清其中的邏輯關係，我想，大部分時候你也可以論證得很好了。

觀察力，判斷力，聯想能力，計算能力……算了我還是回答智力把= =

學校里大部分接觸的數學題，其實蠻機械的，熟悉基礎的知識+堅持不懈地練習，以致最後看到題就知道怎麼解。可能智力上的差異，體現在同一道題中，解法的優劣，當然這也可以靠練習彌補。

與出題者溝通的能力

我覺得，解題不需要說的這麼理論，這麼抽象，我說一個稍稍具有實操性的答案，當然不是回答是什麼這樣的，而是怎麼做的，因為做到了之後自然就知道是什麼了。
搭好相關的知識結構+處理轉化題目信息！這就是解題的本質！

有時候靠的是理性能力，比如很多證明題。有時候就只能憑藉直覺了，比如添加輔助線，或者猜想一個通解

直覺

看到問題的時候相應的知識點就出來了，甚至沒有意識到就能直接答出來，比如說自己做題我可以直接明白推理A→D，但是講給別人聽就一頭霧水，然後我才會考慮原來是A→B→C→D。
ps：數學考驗智商啊哈哈

這解題能力的本質……
不敢說，也說不了，
只能說一下解題時的一些自己的感受，
有思路時，比較「繞」的題做著也挺輕鬆，
否則，反之；
覺得和如何「看待」所要解的問題有著密切聯繫；
至於如何看待嘛，在於自己所持有的觀點；
所持觀點高於題目就輕鬆，反之就不輕鬆唄→_→（親們這可絕不是廢話啊-_-||）
至於這觀點的高低……
不如就先說到這（因為再聊下去就有點傷感了，我天天被那群人嘲諷的體無完膚，對就是那些人……-_-||）

記憶力,硬本事

1.把這個問題放大，數學物理化學等理科試題的解答用到的能力本質是什麼？
2.本質是大腦的神經元相互聯繫的過程。
3.包括基本概念的記憶能力，概念間的聯想能力，就這兩個。這兩個在解答理科題的時候統稱為邏輯思考能力。
4.這道題屬於認知科學領域。

創造力記憶力

解沒解過的題
是創造經驗的過程
要發揮的是創造力

但解題肯定是在前人已鋪墊好的基礎上解題
所以創造力突出體現在
對解題策略的決定
解題知識的運用

解解過的題
是聯想經驗的過程
要發揮的是記憶力
如果忘記了
就和解沒解過的一樣

數學老師的老媽說，是聯想能力。

當然要有對定理和規律的掌握，但是那取決於努力因素，看了背了就行。

其實一切都可以歸結成記憶問題並且用喪心病狂的努力來彌補。