在圖像處理中，散度 div 具體的作用是什麼？

12-05

謝邀。回答兩個問題：
1. 什麼是散度？
2. 散度在圖像處理中有何應用

1. 什麼是散度

1.1 散度的定義

散度是作用在向量場上的一個運算元。

用三維空間來舉例，向量場就是在空間每一點處都對應一個三維向量的向量函數：

$F(x,y,z)=(v_1(x,y,z),v_2(x,y,z),v_3(x,y,z))^T$ 。

比如海洋里，各點在單位時間單位體積中水的流量就是一個三維場，稱為通量場，它等於速度場和密度場的乘積 $F = u(x,y,z) ho(x,y,z)$ 。

向量場的散度運算元定義為：

$div(F)=frac{partial v_1}{partial x}+frac{partial v_2}{partial y}+frac{partial v_3}{partial z}$ 。
它是一個標量函數(場)，也就是說，在定義空間中每一點的散度是一個值。

1.2 散度的物理意義

用水流來解釋，散度的物理意義可以敘述為：

如果一點的散度大於0，那麼在這一點有一個水龍頭不斷往外冒水（稱為源點）
如果一點的散度小於0，那麼在這一點有一個下水道，總有一些水只進不出（稱為匯點）
如果一點的散度等於0，那麼在這個點周圍的小區域里，單位時間進來多少水就出去多少水。

1.3 數學推導

假設 $F$ 是水的通量場，咱們來看看在一點 $A(x,y,z)$ 的附近到底發生了什麼。以這一點為中心，用一個邊長分別為 $dx,dy,dz$ 的平行於坐標軸的長方體盒子包圍它，來詳細分析長方體各表面向外跑了多少水。先看盒子在 $x$ 方向上的兩個面：

第一個面是一個面積為 $dydz$ 的長方形，它的中心坐標是 $(x+frac{dx}{2},y,z)$ ，這一點的通量是 $F(x+frac{dx}{2},y,z)$ ，用Taylor展開式可以近似為： $(v_1,v_2,v_3)^T+frac{dx}{2}(frac{partial v_1}{partial x}, frac{partial v_2}{partial y}, frac{partial v_3}{partial z})^T$ ，又因為這一長方形的外法線方向是 $(1,0,0)$ ，因此這一面在單位時間向外的流量就是二者相乘再乘以面積，由於法線的特殊形式，y、z分量自動消失了：

$V_{x+}=(v_1+frac{dx}{2}frac{partial v_1}{partial x})dydz$

同理，在x負半軸上的那個面單位時間向外的流量是：

$V_{x-}=(-v_1+frac{dx}{2}frac{partial v_1}{partial x})dydz$

因此單位時間在x方向上的總的向外的流量是：

$V_x=V_{x+}+V_{x-}=frac{partial v_1}{dx}dxdydz$

把三個坐標軸向外的流量加在一起，我們就得到了圍繞點 $A$ ，體積為 $dxdydz$ 的長方體單位時間向外的流量是 $V=left( frac{partial v_1}{partial x}+frac{partial v_2}{partial y}+frac{partial v_3}{partial z} ight) dxdydz=div(F)dxdydz$ 。

因為一個區域是由很多小正方體組成的，給定一個複雜區域 $D$ ，其單位時間向外的總流量就是把每一個小區域向外的流量加起來，因為內部相互抵消，最終只有區域邊界上的值得以展現，這樣就得到了：
$V(D)=int_{D} div(F)dxdydz=int_{partial D} F cdot dS$

其中 $partial D$ 是區域D的邊界， $dS$ 是區域邊界上外法線方向的面積元。這個式子的含義是指跑出區域的總水量等於區域中散度的積分，也等於區域邊界上向外的流量的積分。

平均到一個點上，單位時間向的外流量密度就是 $frac{int div(F) dxdydz}{int dxdydz}=frac{div(F)int dxdydz}{int dxdydz}=div(F)$

這是散度的物理意義。

一個區域無論多複雜，只要不包含源點和匯點，其上散度逐點為0，因而區域的總向外流量也為0，1.2中所述的其他情形也可以相應獲得。

1.4 散度與擴散

假設在空間中有一個濃度場(密度場) $ho(x,y,z,t)$ ，代表在時刻t，在任一點，單位體積的某種物質的分子個數，考慮到物質守恆，物質不會自生自滅，小區域中濃度的變化必然是由於有物質流進流出造成的，這種守恆可以用著名的連續性方程的微分形式來刻畫：

$frac{partial ho}{partial t}+div(F)=0$

其中F是通量。

物質喜歡從高濃度向低濃度運動，並且濃度差越大，運動越劇烈。根據菲克定律(Fick"s laws of diffusion)，通量可以用濃度的負梯度來表示，因為某一點的負梯度是濃度下降最快的方向,得到： $F=-K abla ho$ 。其中梯度定義為 $abla ho =left( frac{partial ho}{partial x}, frac{partial ho}{partial y}, frac{partial ho}{partial z} ight)$ ，是一個向量場，K是擴散係數，可以是標量，也可以是矩陣，用於調節濃度差與擴散方向之間的關係。

從而連續性方程就變成了擴散方程：

$frac{partial ho }{partial t}=-div(K cdot - abla ho)=div(K cdot abla ho)$

為了更加直觀地理解，咱先略去擴散係數K，這樣方程就變成了：

$frac{partial ho }{partial t}=div( abla ho)= ho_{xx}+ ho_{yy}+ ho_{zz}=Delta ho$

等式右邊被稱為Laplace運算元，一般用一個正三角來簡寫，你可以用二階導數來理解它。在一小段時間間隔上，這個方程可以離散化為：

$ho^{(t+1)}= ho^{(t)} + dt cdot div( abla ho^{(t)})= ho^{(t)} + dt cdot Delta ho ^{(t)}$

直接含義就是：在每個小時間段內，如果一個點的二階導數大於0，則把它的濃度增加一些，如果一個點二階導數小於0，則把它的濃度降低一些。因為二階導數大於0的點往往是下凹的點，是局部極小值，因此增加它可以讓局部濃度變平滑;類似地，二階導數小於0的點往往是上凸點，是局部極大值，減少它可以讓濃度中和。

當時間趨向於無窮大時，方程達到穩定，左端為0，那麼我們就得到穩定值滿足的條件：整個區域上散度為0。也可以理解為最終消滅了所有的源點和匯點，場變得光滑了，擴散就終止了。

2. 散度在圖像去噪中的應用

在圖像領域散度運算元主要用在去噪中。假設一幅圖像為 $I(x,y)$ ，它的梯度運算元 $abla I=(frac{partial I}{partial x}, frac{partial I}{partial y})^T$ 是一個二維場，那麼我們立即可以用散度運算元構造一個擴散方程：

$frac{partial I}{partial t}=div( abla I)=I_{xx}+I_{yy}$

把這個擴散方程作用於圖像就可以去噪了，上面已經解釋了它的作用過程是比較圖像上的每個點，如果一個點值比周圍點低，就增加它，如果比周圍點高，就減少它，實質就是平滑圖像。但是由於它是各向同性的均勻擴散方程，導致圖像上所有細節均勻模糊，去噪效果很糟糕。

Perona和Malik在90年代初發現，由於圖像邊緣往往處在梯度值較大的點處，如果擴散方程在梯度值較大的區域減速擴散，在梯度值較小的區域加速擴散，則可以在著重去噪的同時保護圖像有用細節。他們修改後的擴散方程就是有名的P-M方程：

$frac{partial I}{partial t}=div(g(| abla I|)cdot abla I)approx c_1 I_{xi xi }+c_2I_{eta eta }$

其中函數g是一個遞減函數，保證隨圖像梯度模值增大函數值遞減，起到只在圖像平滑區域（小梯度點）猛烈擴散的作用。同時，這個方程還可以變形為在圖像局部沿邊緣方向 $xi$ 和跨邊緣方向 $eta$ 上的兩個一維擴散之和，好的演算法能保證在沿著邊緣方向擴散地多，跨邊緣擴散地少，也就是保證 $c_1>c_2$