祖沖之的割圓術求圓周率是否過於繁瑣?
好了,到此為止,問題已經解決,多謝大家捧場。再有發表辱罵言論者,鄙人一律舉報拉黑。
原問題: 為何不用一條線繞圓圈一周,然後量這條線的長度,這不就得到周長了嗎?然後用周長除以直徑,這就得到圓周率了。
回答里很多人說古人是用純數學方法計算的,完全不需要測量。那麼這樣說有什麼依據和出處嗎?具體如何用數學計算,當時又是否真的有這種高級的知識手段?這些可不是能夠隨口就下定論的。
割圓術不是量出來的。。。是勾股定理迭代出來的。。。
你這想法也不是不可以,就是太難為材料狗了...
需要粗細近乎於0,長度數萬上億,拉伸不產生形變,強度超他媽高的知乎繩
需要同樣超級長超級長超級長,長到說三遍,精度還不會產生誤差的超他媽高精度知乎尺
還需要超他媽大的知乎圓規和超他媽大的知乎紙...
你用今天的高科技繩子也量不出3.1415926來
割圓術是把圓分割來計算,不是拿小棍擺來量。。。
還有,下面好多人問祖沖之用什麼尺子能測到小數點後那麼多位。。。
宋末,南徐州從事史祖沖之,更開密法,以圓徑一億為一丈,圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間。
按題主的思路,恐怕得以為祖沖之做了個多大的玩意
割圓術是在圓裡面不斷提高內接正多邊形的邊數,逼近圓形啊,是一個理論計算的過程,並不是一個測量過程。再說,古代什麼測量工具測出來的數值能把求出來的圓周率精確到小數點後六七位。
題主能夠有質疑精神,並且提出新的思路,我認為是很好的。
很多答案對著題主一通狂噴,本質上是在普及數學,但是這樣可能讓題主產生一種「你們被書本洗腦了」的感覺。所以站在這個角度上,本著大家相互學習,共同進步的方向上,我們來分析一下——為什麼題主的方法不如祖沖之,以及,題主與祖沖之的差距,究竟在哪裡。
我們把求圓周率確切的分為幾個細化的步驟,然後分別看看題主和祖沖之的處理方法。
1.想要求圓周率。
題主:OK 祖沖之:OK
2.想要得到一個圓儘可能標準的周長和直徑。
題主:OK 祖沖之:OK
3.想一個得到其周長和直徑的方法。
題主:量一量不就好了
祖沖之:如何量出一個儘可能完美的圓的周長
我們發現,題主在第三點上就開始偏離了一個真正的「數學思維」,數學不是工程學,數學很多方面把握的是事物的本質,而不是具體的某個客觀存在。題主沒有意識到測量所帶來的誤差,但是祖沖之認識到了。
4.如何在有缺陷的世界中儘可能模擬一個完美的圓:
題主:……
祖沖之:利用割圓法進行無限逼近,分割得次數越多,則越能逼近一個完美的圓,當達到無限分割時,即是完美的圓。
5.如何求這個圓的周長:
這一點不應該單獨歸為一類,其實割圓術的本身也是求解給定直徑下圓的周長的答案。
綜上所述:題主其實嚴格意義上來講並沒有理解題目本身。求圓周率的本質就是得到直徑與周長的關係,但是難點在於:如何測量出相對準確的周長和直徑。題主完全迴避了這個問題,直接說:用繩子量出來不就好了。這等於沒有回答。
我們想知道一個物體的長度/高度時,首先想到的是什麼?自然是用物理方法測量。尺子啊遊標卡尺啊螺旋測微器啊。但這只是個初步想法,與落實成演算法還是有很大差距的。所以題主,並不是你的演算法高明,而是你只是想到了「一般人都能想到」的那一步而已。當然,我也是一般人的一份子,所以從這個角度上講我並不能指摘題主什麼。
但是題主的問題還不限於此,我們來看題主的問題:「祖沖之的演算法是否過於繁瑣」。這就麻煩了。這暴露出了題主在研究學術問題時,比起完善自己的演算法,先傾向於蔑視他人的成果。而目空無人和自以為是,恰恰是研究任何的學科所最為致命的態度。
願與題主共勉。還真有人以為割圓術是量出來的。。。。。。隨便說一句,劉徽不僅證明了勾股定理,還證明了絕大多數九章算術里的演算法,而後通行於世的就是他的九章算術注。但是我覺得我還得強調一下,中國人是證明了勾股定理的!!!送個割圓術的圖:
公元263年,中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出「割圓」之說,他從圓內接正六邊形開始,每次把邊數加倍,直至圓內接正96邊形,算得圓周率為3.14或157/50,後人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250(等於3.1416)。劉徽斷言「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓合體,而無所失矣」。
這是劉徽的割圓術【1】:
簡單來說,就是定義 為圓的 的邊長,不妨設其中一條邊為 , 中點為 , 的延長線交圓周於
則有
按照這個迭代公式計算,最後再由邊長得出內接正3*2^n邊形周長和面積.
祖沖之也是沿用劉徽這個方法的.【2】
這種方法所使用的數學工具也沒多高級,就是當時中國人早就知道的勾股定理.
另外,在劉徽之前好幾百年,希臘的阿基米德就用另一種割圓術給出過圓周率的近似值.【3】但由於阿基米德只求到了正96邊形周長,所以不如後來劉徽和祖沖之來得精確.
阿基米德給出的圓周率範圍是:3.140845...&<π&< 3.142857..
劉徽給出的π的近似值是3.14159
祖沖之給出的範圍是:3.1415926&<π&<3.1415927
按你說的想法,測量……你從哪找到符合這種精確度的刻度尺,又如何測量?
註:
【1】劉徽最初可能首先是從用圓的內接正3*2^n邊形面積逼近圓面積的角度考慮的,順便還給出了圓面積與圓周長關係
如果令 為內接正3*2^n邊形面積,那麼用割補法很容易得到:
其中 是圓的內接正3*2^n邊形的周長
等式兩邊取極限就是圓周長和圓面積的換算公式.
【2】清阮元撰《疇人傳》:「後祖沖之更創密法,仍是割之又割耳,未能於徽注之外,別立新術也」
【3】阿基米德的方法是用圓的內接正3*2^n邊形和外切正3*2^n邊形共同逼近圓
魯道夫·范·科伊倫(Ludolph van Ceulen,1540年1月28日—1610年12月31日),荷蘭數學家,生於德國希爾德斯海姆,後移居荷蘭執教擊劍和數學。1580年在荷蘭代爾夫特(Ddlft)成為數學教師。1600年,他被萊頓大學聘認為第一位數學教授,後在萊頓去世。
魯道夫·科伊倫把他一生的大部分時間花在計算圓周率上。他運用的是1800年前阿基米德所適用的割圓法,將圓周率計算到小數點後第35位。他對自己的這個成就感到非常自豪,以致這個數被刻在他的墓碑上(可惜這塊墓碑已經丟失);直到今天,德國人還常常稱這個數為「魯道夫數」。
他的計算成果就是這個數字:
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
如果按照題主的測量方法,估計拿根不變形的繩子繞地球赤道圍一圈都算不出這35位數。
而且赤道也不是理想的圓形,另外還有海拔的影響。
當然現在不用這麼辛苦,計算機代勞了。所以題主可以把提問改成:「為什麼不上網下個Super Pi軟體。」
經知友評論,現在改一下答案。原來的答案戾氣比較重。本人原來看到題主的問題描述著實覺得生氣,現在看來大可不必如此。
為何不用一條線繞圓圈一周,然後量這條線的長度,這不就得到周長了嗎?然後用周長除以直徑,這就得到圓周率了。
其實題主的這種方法是最簡單最直覺的圓周率測量方法。千年前的古人就已經想到了。不過正如其他答主所說,這個方法精度很低,因此不適合測量準確的圓周率。
實際上,由於圓形是一個特殊圖形,圓周率的值是可以通過割圓術直接求得。另外還有很多其他的方法。比如無窮級數的方法:格雷戈里-萊布尼茨級數。儘管計算較費時間,但每一次迭代的結果都會更接近 Pi 的精確值,迭代 500,000 次後可準確計算出 Pi 的 10 位小數。公式如下:
π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ...
首先用 4 減去 4 除以 3,然後加上4除以5,然後減去4除以7。反覆變換使用加減法,後面的小數是用4作分子,用連續的奇數作分母。計算的次數越多,則結果越接近 Pi。
還有Nilakantha 級數。這是可用於計算 Pi 的另一個無窮級數,非常容易理解。儘管結構較複雜,但它的計算機結果可比萊布尼茨公式更快地接近 Pi。
π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - (4/(12*13*14) ...
在該公式中,從 3 開始,依次交遞加減以 4 為分子、三個連續整數乘積為分母的分數,每次迭代時三個連續整數中的最小整數是上次迭代時三個整數中的最大整數。反覆計算幾次,結果與 Pi 非常接近。
你可以看一下這個答案:用計算機算圓周率,是個怎樣的過程?
回答里很多人說古人是用純數學方法計算的,完全不需要測量。那麼這樣說有什麼依據和出處嗎?具體如何用數學計算,當時又是否真的有這種高級的知識手段?這些可不是能夠隨口就下定論的。
但是,題主在沒有對應調查和研究的基礎上,對古人的研究成果妄加質疑,這就不符合科學的精神了。也許題主只是一個擁有初中文化的人(高中的歷史教材上寫過祖沖之的事情,數學書上也講過割圓術,在這裡姑妄言之),但做人依然是要有科學嚴謹的態度的。遭人恥笑是小,如果錯誤的做了重要的發言,或者錯誤的做了重要的事情,危害的可是自己。希望題主以後能戒驕戒躁,努力成為一個嚴謹求是的人。
以上。
我覺得劉徽和祖沖之的割圓術是一種樸素的積分學思想,十分偉大,可以算的上東方積分學的先驅。
圓是一種抽象實體,這個世界中並不存在完全標準的圓,只有無限近似於圓的物體。
所有的圓錐曲線也是如此,直角,三角形,四面體,也是如此。你一旦使用幾何概念,不管承認與否,你就進入了數學抽象的世界。
那麼。你要一個人用近似物去衡量抽象概念的值,這不是緣木求魚,揚湯止沸,飲鴆止渴,貽笑大方嗎?當然可以啊,只是具體能測出幾位小球取決於你尺子的精密程度和你繩子的長度。
如果你想得到祖沖之算出的3.1415926的話,用遊標卡尺去量,則需要大概三百多米的繩子。
加油!
(我編輯過題目,但居然又改回去了。)
我還是想糾正一下,割圓術是劉徽提出的,西方的阿基米德等人也有類似思想。
我們不知道祖沖之到底是怎麼算的,唐朝人已經看不懂祖沖之的書了,而宋代直接失傳。
說祖沖之的割圓術是不恰當的。
題主說的是個好辦法,確實這樣可以很快的得到圓周率。你知道古代的木匠有句話叫:周三徑一。這個就是說直徑1的園,周長是3。這個就是實踐中得出的圓周率。
可是這個圓周率最大的問題是:不夠精確。我們想像一下,如果我們要通過測量法,算出3.14的圓周率。我們可以畫一個直徑1米的圓,周長就是 米,近似的就是314厘米,3米多的繩子,誤差1厘米,相對誤差只有0.3%。這個精度要求在古代已經是很高了!現在你也不太容易做到。圓是曲線,並不容易用繩子直接量,而且現實中的繩子或多或少有彈性,類似一個彈簧,越長的繩子,越明顯。要測出祖沖之的精度3.1415926,哪怕你的圓是100米直徑,你要誤差也要小於0.001厘米,這個誤差,現在的遊標卡尺都做不到。況且,你能保證這個100米的直徑的圓是在平面上?地球是圓的哦。
所以,直接測量法得到精確的圓周率,做不到啊。
從前有個人,閑著沒事用繩子量各種圓,發現圓的周長與直徑之比似乎是個定值,於是大家把這個值叫圓周率。
數千年來,無數名人志士都在想各種方法求得圓周率的精確值,好不容易精確到六七位。這時,突然有人問:你們這些人是不是傻,用繩子量一下周長除以直徑不就是圓周率了嗎???
社會社會。非本題回答,只不過是看到了很多帶有戾氣的答案所發出的一些心聲。
我想任何人都有不解和糊塗的時候。題主提問時所用的語氣和文字沒有什麼不當,對於祖沖之的貢獻也沒有輕蔑之處,只不過是自己提了一個疑問而已(雖然這些問題在大部分人眼裡不值一提,但我很欣賞題主追求真知的態度和勇氣)。
我們在向別人傳授知識,普及科學理論的時候就已為人師,我想我們大可用溫婉包容的態度來進行解釋,而不是一個知識層面的高位者橫加指責和蔑視。很多充滿戾氣的答案讓我看到了多年前當我考試失利時老師冰冷的面孔,當我遊戲操作失誤時隊友的責罵,甚至看到了當我年少出醜時周圍鬨笑的眾人。
這些體驗讓我畏懼考試,失去競技樂趣,變得怯弱謹慎。最害怕的事情就是那些身為屠龍勇士幫助他人解除困境的人,在問題解決之後已經成為了他人心中的惡龍。
每一位嚴格要求著我的言行糾正我的錯誤的人無不是我成長道路上的屠龍勇士,但當我走過當時的困境時,他們之中一些身影卻成了我心中另一面抹不去的陰暗。
願少一些刻薄和冰冷,多一些寬容和溫暖。(在此由衷感謝高三時那個把一個孩子帶出陰暗,帶來陽光的可愛班主任,謝謝您領我走出自卑,讓我重拾表現自己的勇氣,讓我相信世界上還是溫暖更多一些,謝謝您當初伸出的雙手和無數個日子裡的徹談。)中國明朝天文學家刑雲路曾經用測量方法得到圓周率的近似值3.126,他還很得意,認為他是自古以來第一個用這種方法計算圓周率的人。
拿尺子量?那還是數學嗎?祖沖之是數學家。。。
測量根本上是不能百分百確定結果的,而且我們的空間要是彎曲的就會測錯了。
推薦閱讀: