任何正有理數可以表示為以下這些，為什麼？

12-04

這個題目可以這麼證明：
第一步令 $frac{p}{q} =frac{p(q-1)!}{q!}$
$p(q-1)!=kq+r,0<=r<q$
$frac{p}{q} =frac{k}{(q-1)!} +frac{r}{q!}$
對 $k=s(q-1)+t$
$frac{p}{q} =frac{s}{(q-2)!} +frac{t}{(q-1)!} +frac{r}{q!}$
這樣經過有限步必然停止，並且 $a_{1}$ 可以為任意正整數
證畢

謝邀，只說思路好伐。

首先p/q的整數部分取作a_1，然後把整數部分減掉，把2!乘過去，這樣得到的數的整數部分取作a_2，以此類推，這就跟把一個數化成10進位數是一樣的。為了保證那些不等式成立中間需要做一些估計，很簡單。然後這樣做下去，得到一個無限長的序列，然後再證明這個序列一定會終止即可，如果不終止那麼算出來的數一定是無理數。

我再給個證明：原式右邊可以改寫為
$frac{p}{q} = 1 imes (a_{1} +frac{1}{2} imes(a_{2} +frac{1}{3} imes(a_{3} + ....+frac{1}{k} imes(a_{k} )...)$
p/q * 1 取整 =&> $a_{1}$ ，餘下的部分記 $x_{1}$ ，明顯小於1
$x_{1}$ * 2 取整 =&> $a_{2}$ ，餘下的部分 $x_{2}$ ，明顯小於2

q有限，所以在q步內，肯定可以使得餘數為0，k&<=q
so:
依次對p/q乘上1,2,3...k,然後每個步驟取整就是 $a_{i}$

這個關鍵應該是證明k有限吧！