判斷一個圖形能否一筆畫成的數學解釋是什麼？

12-04

所謂數學呢，就是把一些人話說得讓人聽不懂。——我上鋪的兄弟

啊當然這是玩笑，但是很多時候，教科書上的順序和人們理解問題的順序並不是一致的。
扯遠了，回到正題，對於題主的問題，其實現有的答案已經回答得很完整了，數學解釋就是 @高濟禾在答案中提到歐拉在1735年給出的結論， @余天升和 @莫薇也都在答案中明確寫出了歐拉得到的定理，我來狗尾續貂多說幾句，把那冷冰冰的定理背後的原因再說得明白一些。
我把之前答主們給出的定理引用一遍：

定理

凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖

凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點

其他情況的圖都不能一筆畫出

為什麼是這樣？
我們想像一下，如果某個圖能夠一筆畫出，我們的筆沿著某一條邊到達了一個點，繼續沿著另一條邊畫向再一個點...發現什麼沒有？除了開頭的點和結尾的點，中間任何一個點若想被畫到，就一定要有一條邊以供畫筆「進入」，同時也一定要有一條邊以供畫筆「離開」。也就是說，中間任何一個點，邊數一定是偶數。只有起點或者終點，是不需要同時「進入」和「離開」的，也就是說，起點和終點是可以有奇數邊的；但若有奇數邊，那麼起點和終點就必須同時是奇數邊。
如果所有點的邊數都是偶數，那以任何一個點作為起點，最後會回到這個點來；如果有兩個奇數邊的點，那麼一定一個是起點一個是終點。
以上就是最樸素的想法，嚴格的證明那就是歐拉做出的卓越的工作了。

數學是很有趣的，只是很多時候學習數學的順序弄反了，數學就只剩下冷冰冰的文字了。

就是歐拉路和歐拉迴路，這是圖論的內容。

路：對於圖G=&，設v[0],v[1],...,v[n]為圖中的結點，e[1],e[2],...,e[n]為圖中的邊，並且每一個邊e[i]都是連接結點v[i-1]和v[i]的邊，我們把結點和邊的交替序列序列v[0]e[1]v[1]e[2]v[2]...e[n-1]v[n-1]e[n]v[n]，稱為聯結v[0]到v[n]的路；當v[0]=v[n]時，稱作迴路；

歐拉路和歐拉迴路：給定無孤立結點圖G，若存在一條路，經過圖中每邊一次且僅一次，該條路稱為歐拉路；若存在一條迴路，經過圖中每邊一次且僅一次，該迴路稱為歐拉迴路。

定理：
簡單無向圖G具有一條歐拉路，當且僅當G是連通的，且有零個或者兩個奇數度結點。
簡單無向圖G具有一條歐拉迴路，當且僅當G是連通的，並且所有結點度數都是偶數。

參考：
左孝凌等《離散數學》，上海科學技術文獻出版社，1982年；

數學解釋是歐拉Eular 1735年對 Seven Bridges of K?nigsberg 問題的研究工作http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg

順手八卦了一下原作風采

圖形中任何端點根據所連接線條數被分為奇點、偶點。只有所有點為偶點的圖形和只有兩個奇點的圖形可以一筆畫。只有偶點的圖形不限出發點，只有兩個奇點必然從其中一點出發到另一點結束。在任何圖形中，奇點都是成對出現的，沒有奇數個奇點的圖形。 ⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。 ⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。 ⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

這是圖論的內容，你找本圖論的教材就行了。當然離散數學教材里可能也有簡介

被經過的點，會耗掉偶數條線（進點一根出點一根），所以連有奇數條線的點耗不幹凈，只能斷掉，所以奇點只能在始末處。一筆的話只有一始一末。所以要想一筆，只能有兩個奇數點，（當然→_→始末相連變成環就全偶了，）

隨便找本國內的大學本科《運籌學》教材，裡面有一章講圖論，裡面有一小節專門講這個