類似於費馬的猜想的猜想？

是否存在√a+√b=√c？其中a、b和c均為整數，且為2，3，5，6，7，10，11，13，14等不可以寫成D√E(D，E均為整數，如2√2，3√2，3√3等這類數)形式的任意整數？即被開方數是整數，且不能直接被開方成自然數，也不能寫成「常數乘以根號」的形式，怎麼證明？同理，三次方根時是否存在呢？

題主所說的這類整數叫作square-free integers，即該數的質因數分解中任意質因數的冪次只能是1次。

二次根式的情況：

兩邊平方得

所以 是有理數，進而必然是整數（若不然，則ab不是整數，矛盾），於是ab是完全平方數，也就是說，ab的質因數分解中任意質因數的冪次都是偶數次（那麼就至少是2次）

因為a、b均為square-free，對於a的任意質因數p，b中一定也要出現，否則p在ab的質因數分解中不會出現2次，反之亦然；於是我們知道a=b，進而c=4a=4b，與c是square-free矛盾。

三次根式的情況，需要先定義cube-free integers（同上，質因數的冪次只能是1次或2次），然後類似的：

兩邊三次方得

於是 是有理數，進而

也是有理數（由立方差公式）

此時，若a=b，則同上，c=8a=8b，矛盾；若a不等於b，則可以得出 和 均為有理數，進而均為整數，進而由a和b為cube-free得出a=b（對於a的任意質因數p，若p的冪次為1次，則p在b中出現且p的冪次也為1次，若p的冪次為2次，則p在b中出現且p的冪次也為2次；反之亦然），矛盾。

我猜測從域論的角度出發應該有更General的證明，可以解決p次根式的情況（p為素數），或者是多於2個這樣的數相加的情況……

設 不妨設a,b,c兩兩互素。

設 則

如果 則 在 中不可約，因此是 的極小多項式，同理 也是，這不可能，因此

對於一般的n,x的極小多項式為 ,x+1的極小多項式為

而二者的次數相同，因此二者必須相等，這不可能。