如何用牛頓迭代法求一個三元函數f(x,y,z)的一個極小值？

12-04

例如，給定下面這個公式：

顯而易見函數f的最小值出現在(1,10,100)處。問題是，如果選擇初始值x0=y0=z0=1000,即初始值在(1000,1000,1000)處時，如何用牛頓迭代法求得這個函數的最小值？謝謝：）

函數只有一個極值，在 (1,10,100) 處，也容易證明是極小值。

牛頓迭代是用來求方程的數值解的，因為求極值就是解方程，所以你要說用牛頓迭代求極值，實際上是求下面方程組的解。雖說殺雞焉用牛刀，但是牛刀殺雞確實是可以的。
$left{ egin{array}{l} h_1(x,y,z) = dfrac{partial f(x,y,z)}{partial x} = 2(x-1) = 0\[10pt] h_2(x,y,z) = dfrac{partial f(x,y,z)}{partial y} = 2(y - 10) = 0\[10pt] h_3(x,y,z) = dfrac{partial f(x,y,z)}{partial z} = 2(z - 100) = 0 end{array} ight.$

另 $m{x} = left( egin{array}{c} x\[5pt] y\[5pt] z end{array} ight)$ ， $m{F}(m{x}) = left( egin{array}{c} h_1(x,y,z)\[5pt] h_2(x,y,z)\[5pt] h_3(x,y,z) end{array} ight)$ 。

則 Jacobi 矩陣為
$egin{array}{rcl} m{F}$

迭代公式為： $m{x}^{(k+1)} = m{x}^{(k)} - ig[m{F}$ 。

展開就是 $left( egin{array}{c} x^{(k+1)}\[5pt] y^{(k+1)}\[5pt] z^{(k+1)} end{array} ight) = left( egin{array}{c} x^{(k)} - 0.5h_1(x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)})\[5pt] y^{(k)} - 0.5h_2(x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)})\[5pt] z^{(k)} - 0.5h_3(x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}) end{array} ight) = left( egin{array}{c} 1\[5pt] 10\[5pt] 100 end{array} ight)$