等價關係有什麼意義？等價關係說明了什麼問題？

12-04

相關問題：為什麼把「等價關係」定義成滿足自反性、對稱性和傳遞性的二元關係？ - 知乎

等價關係是相等關係的一種拓展。它可以把一個集合劃分成幾個互不相交的子集（等價類），對每一子集任取一元素便可以代表這個子集。這樣可以方便某些問題的探討，比如這些互不相交的子集具有不同的性質而同一子集內的元素具有某種共同的性質。
比如 $(X, M, mu)$ 上的 $L^{1}(mu)$ 可積函數，如果配上 $L^{1}$ 範數， $||f||_{1} = int |f|dmu$ ，從 $L^{1}$ 中各個可積函數來看， $||cdot||$ 只是半範數(seminorm)。但是如果我們把積分相等的可積函數，也就是幾乎處處相等的可積函數歸為一個等價類， $||cdot||$ 就成了範數(norm)。而且從等價類的角度， $L^{1}$ 也是完備(complete)，從而變成了Banach space。
總之，等價關係可以讓我們忽略某些細節，從而專註於我們更想要了解的該集合的特性。

我最喜歡回答這種奇葩問題了。因為，我也是個奇葩。也問過相似的問題。
所以我當年的學習筆記里有一段我對這個問題的理解。
雖然，我現在讀起來有點幼稚，不過，這也是年輕時的寶貴經歷啊

和你分享一下好了。

所謂等價關係，就是指符合

反身性

傳遞性

和對稱性的關係。

等價關係中最本質的是自身和自身天然的保持這種關係。自身和自身的關係具有等價性，是其他對象等價關係的靈感來源和思維源泉。

對稱性，體現了等價關係的另一個側面，體現了等價關係的特徵。

而傳遞性，是等價關係可應用性的基礎。——它的存在使得等價關係成為了一個可以廣泛存在的性質，而不是孤立事件的孤立特質。

最熟悉的等價關係，就是等於了。

不過等價關係，不只可以說明等於，它其實是事物之間存在同一性，一致性的反應。它使得用有限的，抽象的邏輯方法，理解無窮的，紛繁複雜的具體事物成為可能。

是人們對於世間萬物產生理性思考之後，所產生的第一個具有超越性意義的邏輯關係。

其實就是發現了事物a 和事物b 具有一致性。而這種一致性，是可以重現的（反身性），是便捷而符合直覺的（對稱性），以及可推廣的，具有應用價值的（傳遞性）。

等價關係決定了集合元素的一種分類，比如整數的剩餘類。

只說我自己的一些理解：
「等於」號的性質：若a=b，則b=a；a=b；a=b,a=c，則a=c
圖形相似：若a相似於b，則b相似於a；a相似於a；a相似於b,b相似於c，則a相似於c
全等：若a全等於b，則b全等於a；a全等於a；a全等於b,b全等於c，則a全等於c
......
這些關係都具有自反性，對稱性與可傳遞性。由此可以總結出一類關係，叫「等價關係」。
接下來，由等價關係產生集合：
等於：A = { x | x = a }
相似：B = { y | y相似於b }
全等：C = { z | z全等於c }

先說一個反例，一個集合 $left{ a,b,c ight}$ ,定義關係 $ightarrow$ ,有 $a ightarrow b,b ightarrow c$
直觀理解：
a與c無關，但有「間接」的關係（無傳遞性）;
a與自己無關（無自反性）;
a與b有關,但b與a無關（無對稱性）;
因此無法簡單劃分出{ x | x與a相關 }和{ x | x與a無關 }

與之相反，上述的等價關係可以簡單直接劃分出「有關」和「無關」兩組元素；「有關」的全體就是等價類

這就是我的理解：等價關係能將一組元素簡單且明確地分類

把一個集合分成幾個不相交的集合的並，與在集合上定義了某個等價關係。這兩個都很抽象的數學命題，是能互相推導出來的。言外意他們是一回事。在阿廷的那本《代數》裡面有證明！發人深省。
過多的聯想沒必要，等價關係就是把一個集合分成了幾個不相交集合的並。

理論上來講, 等價關係定義了一種集合的"商"(Quotient)的方式(把在同一個等價類的元素捆起來變成一個大集合)，具體來說, 如果 $sim$ 是 $X$ 上的等價關係, 那麼先定義等價類 $[x]:={yin X:ysim x}$ , 再定義 $X/sim:={[x]:xin X}$ , 這就定義了一種類似商的運算, 並且 $X/sim$ 中的元素兩兩不交並且構成了 $X$ 的分劃. 同樣, 如果我們給定 $X$ 的分劃 $left{X_alpha:alpha in I ight}$ , 那麼由這個分劃自然又可以得到一個等價關係 $sim$ , 其中 $xsim$ 當且僅當存在 $alphain I$ 使得 $x,,yin X_alpha$ . 也就是說, 等價關係和分划具有一一對應關係. 而等價關係的作用不僅在於這些

先佔樓

時隔近一年的更新：等價關係的作用

一、我們考慮集合 $X$ 到集合 $Y$ 的滿射 $fcolon X o Y$ ，定義等價關係 $sim_f$ 如下： $xsim_f yiff f(x)=f(y)$ 。因此我們自然得到商空間 $X/sim_f$ ，並且我們可以得到一個交換圖

其中 $delta$ 是 $X$ 到 $X/sim_f$ 的自然投影， $varphi$ 是雙射，並且 $f=varphicircdelta$ 。更具體的應用：如果 $X$ 和 $Y$ 都是群並且 $f$ 是滿同態，則上圖得到的 $varphi$ 是群同構。

二、不可測集的構造：定義 $[0,1]$ 上的等價關係 $sim$ ： $xsim yiff x-yinBbb Q$ ，則 $[0,1]=igcup_alpha mathcal{E}_alpha$ ，其中 ${mathcal E_alpha}_alpha$ 為所有等價類。令 $mathcal N:={x_alpha}_alpha$ ，其中 $x_alphainmathcal E_alpha$ 。則 $mathcal N$ 是不可測集。（見[E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis, pp. 24--25]）。