隨便寫出一個無限循環小數，都可以化為一個分數嗎？

12-04

大家知道分數都可以寫成無限循環小數或者不循環小數，這是有理數的特性。那麼反之，如果我隨手寫出一個無限循環小數，如0.1345134513451345.... 一定可以找到一個分數和它對應嗎？

假設
x=0.134513451345....
則
10000x=1345.134513451345...
兩個等式相互減
9999x=1345
x=1345/9999=0.134513451345...
這個辦法是萬能的！

評論太多！
故關閉評論！

@林北如此吹毛求疵，確實，上面許多答案的數學表達都不夠嚴謹，給他提供了攻(zhuang)擊(bi)的口實。

我特在此貢獻一個答案，僅針對本題目，請你挑刺。

在十進位系統中，設一含 $n$ $(0<n<infty )$ 個整數的有限數列： $B=left{b_1,b_2,...,b_n ight}$ ，其中 $b_iin{1,2,...,9}$ ( $i=1,...,n$ )。按如下方式構造一實數 $a$ ：
$a=sum_{j=0}^{infty}{sum_{i=1}^{n}{10^{-nj-i}b_i}}$ ，(1)

我們把這樣構造出來的實數 $a$ 稱為「Devymex小數」。我相信題主所謂的「無限循環小數」符合該定義，如果不符合，請題主提出合理質疑，其它人不許放屁。

接下來證明 $a$ 可以用 $x/y$ ， $x,y$ 都是整數（即分數）的形式表示。

證：(1)式兩邊同乘以 $10^n$ ，得：
$10^na=sum_{i=1}^{n}10^{n-i}b_i+sum_{j=0}^{infty}{sum_{i=1}^{n}{10^{-nj-i}b_i}}$ ，(2)
令(2) - (1)，得：
$10^na-a=(10^n-1)a=sum_{i=1}^{n}10^{n-i}b_i$
因此有：
$a=frac{sum_{i=1}^{n}10^{n-i}b_i}{10^n-1}$

你不用扯別的，上面推導到底有沒有問題？沒有問題請自行打臉。

設 $q= 0.overline{d_1d_2...d_k}$ ，循環節 $R = overline{d_1d_2...d_k}$ 長度為 k。那麼：

$q=sum_{n=1}^{infty}{Rcdot 10^{-kn}}=Rleft(frac{1}{1-10^{-k}}-1 ight)=frac{R}{10^k-1}$
（第一個等號成立因為小數展開是絕對收斂滿足結合律，第二個等號是等比級數的和）

R, k 都是整數，所以 q 有理。QED。

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證明每個分母和 10 互質的真分數一定可以展開成循環小數是基於 Carmichael 定理，循環節的長度就是分母的 Carmichael 函數值。

不知道題主有沒有學過連分數理論？

無限循環小數可以寫成無限個具有等比關係的數的和的形式，根據等比數列求和公式，最後取極限，即可得出相應的分數

循環小數 $0.dot{a}_1ldotsdot{a}_N=frac{a_1ldots a_N}{10^N-1}$
比如 $0.dot{1}34dot{5}=frac{1345}{10^4-1}$
一個不嚴格的證明：
令 $x=0.dot{a}_1ldotsdot{a}_N$ ,
$10^Nx=a_1ldots a_N.dot{a}_1ldotsdot{a}_N=a_1ldots a_N+x$ ,
所以 $x=frac{a_1ldots a_N}{10^N-1}$

嚴密性的話，給出10進位小數的嚴密定義就行了
可以把10進位小數定義為某個級數的和（或者定義為某個柯西列的極限也行）
在這種情況下，對於一個10進位循環小數而言，如何化為分數就是顯而易見的事情了

實際上對於純循環小數而言（混循環小數可以由純循環小數乘以10的負若干次冪加一個有限小數得到）
定義這個純循環小數的級數，它的和必然等於一個以循環節乘以10的負若干次冪為首項，以10的負若干次冪為公比的等比級數的和.
（正項級數可任意交換無窮多項的次序或者任意加括弧而不改變總和）
所以關於它該怎麼化為分數，我想我的意思已經很明顯了.

杭電的acm step 有一初級題，給出一小數，用括弧標出其循環節，輸出與這個小數等價的最簡分數

然而我太渣，這一水題弄了一個下午

有理數集可列。都可以寫成分數形式。可以用康托對角化來證明。證明形式非常優雅。而且有理數的定義就是可以表示稱p/q （p,q為整數）。無限循環小數是有理數。
而上面說的0.99999999....... ＝ $lim_{n ightarrow inf}{1-frac{1}{10^n} } = 1$ ＝ $frac{1}{1}$

找出循環節，然後用分母為若干個9的分數通過增倍和加和湊出結果。

例：

0.123123123...
=123 × 0.001001001...
=123 × 1/999
=123/999.

推論：對於從十分位起開始循環的小數，
分子 = 第一個循環節
分母 = 循環節里的數字個數個9
對於不是從十分位開始循環的小數，先把其非循環節寫成非循環小數，然後剩餘部分以10x 100x等形式放縮使其成為上面那種小數，再按如上操作，最後加和。

不要糾結具體反例好不好。。這個例子的結果的確是正確的但是無論如何這個方法在分析學裡面的確是錯誤的啊。。牽扯到無窮大，或者無窮位數的數是不能簡單的進行加減乘除的

分子=循環節，分母=N個9，其中N=循環節長度——記得是小學課本上給出的通用轉化法，上面答案好像已經提到這個轉化依據了。

當然有些外行就會拿0.99999…=1來說事了╮(╯_╰)╭

Actually,you should make it clear that: Continued fractions are, in some ways, more "mathematically natural" representations of a real number than other representations such as decimal representations, and they have several desirable properties:

The continued fraction representation for a rational number is finite and only rational numbers have finite representations. In contrast, the decimal representation of a rational number may be finite, for example 137/1600 = 0.085625, or infinite with a repeating cycle, for example 4/27 = 0.148148148148….
① Every rational number has an essentially unique continued fraction representation. Each rational can be represented in exactly two ways, since [a0;a1,… an?1,an] = [a0;a1,… an?1,(an?1),1]. Usually the first, shorter one is chosen as the canonical representation.
The continued fraction representation of an irrational number is unique.
The real numbers whose continued fraction eventually repeats are precisely the quadratic irrationals. For example, the repeating continued fraction [1;1,1,1,…] is the golden ratio, and the repeating continued fraction [1;2,2,2,…] is the square root of 2. In contrast, the decimal representations of quadratic irrationals are apparently random. The square roots of all (positive) integers, that are not perfect squares, are quadratic irrationals, hence are unique periodic continued fractions.
The successive approximations generated in finding the continued fraction representation of a number, i.e. by truncating the continued fraction representation, are in a certain sense (described below) the "best possible".

So,now you should know that : the form of representations of real numbers like
" $r = sum_{0}^{infty }{a_icdot 10^{-i} }$ " (decimal representations) was restricted as we want to find the representation of rational numbers with repeating cycle such as $frac{1}{3}$ or irrational numbers such as $sqrt{2}$ . Once a time , you can just specify one finite sequence
{ $a_0, a_1 , a_2 ... a_K ( K is finite)$ } to represent one rational number(without repeating cycle).

②Take consideration of the rational number $frac{1}{3}$ , we cannot find a finite sequence { $a_0, a_1 , a_2 ... a_K ( K is finite)$ } to represent $frac{1}{3}$ precisely,and 0.333333..... is just a "form" we create to describe a number that its continued fraction is $left[ 0;3 ight]$

③We describe irrational numbers as this "Every infinite continued fraction is irrational, and every irrational number can be represented in precisely one way as an infinite continued fraction."

So , conserdering ① ② ③,we have:
$forall rin R,exists f,f=r. (f is a continued fraction )$ ,
$forall f,exists rin R,r=f. (f is a continued fraction )$ ,
and that means:
$f:Aleftrightarrow R$ (set A is a set contains all continued fractions)

PS: I have to remind our questioner again: Continued fractions are more "mathematically natural" representations of a real number than decimal representations, you should expand your perspective from now on .

記得小學做奧賽習題老師講過這類問題，方法嘛，早忘了。。

其實這個跟證明0.9999999…=1是一樣的。
例如0.134513451345x1345/9999=0.999999…=1
所以0.134513451345…=1345/9999

小學的內容，循環小數(包括純的和混的)都能化成分數。。。

我認為這個命題是成立的，只要用循環節除以與其位數相同的99...即可；比如說0.123412341234...=1234/9999；

可以這麼證明：
1234/9999=(1234/10000)*(10000/9999)=0.1234*1.00010001...
=0.12341234...

可以看到這個過程可以推廣到任何循環小數。

其實我一直在想的是，這個問題的逆問題成立嗎？

我來拋磚引玉一下。
誰能先告訴我，分數和無限循環小數是什麼關係？真的相等嗎？
0.33333……用分數怎麼表示？
正常人都知道是1/3吧？

1/3=0.33333……
這個沒問題吧？

兩邊同乘以3
3/3=0.99999……

1=0.99999……
這個結果有問題嗎？
哪錯了？

錯了嗎？

不要問我這是啥，我也不知道。
我只是看過一個文章，就說這個問題的。文章說現在分兩派人，一派認為0.99999……就是等於1。另一派認為0.33333……約等於1/3但並不等於。

坐等大神來科普一下吧。