如何計算sqrt(tan x)在0到pi/2的定積分？

12-04

$int_0^{pi/2} sqrt{ an x}dx$

這個積分比較複雜，純屬數學雜技，不做也罷。

那麼下面我就來耍個雜技給大夥樂呵樂呵，瞧好了您內！ (^_-)

先求不定積分，令 $M=int sqrt{ an x}dx$ ， $N=int sqrt{cot x}dx$ ，則有：
$M+N=intleft(sqrt{ an x}+sqrt{cot x} ight)dx$ $=intleft(frac{sqrt{sin x}}{sqrt{cos x}}+frac{sqrt{cos x}}{sqrt{sin x}} ight)dx$ $=intfrac{sin x + cos x}{sqrt{sin xcos x}}dx$ $=intfrac{(sin x+cos x)dx}{sqrt{frac{1}{2}-frac{1}{2} (1-2sin xcos x)}}$ $=intfrac{(sin x+cos x)dx}{frac{1}{sqrt 2}sqrt{1-left(sin^2 x -2sin xcos x+cos^2 x ight)}}$ $=sqrt{2}intfrac{d(sin x-cos x)}{sqrt{1-(sin x-cos x)^2}}$ $=sqrt{2}arcsin(sin x-cos x)+C_1$
（因為積分公式： $intfrac{du}{sqrt{1-u^2}}=arcsin u+C$ ）

且有：
$M-N=intleft(sqrt{ an x}-sqrt{cot x} ight)dx$ $=intleft(frac{sqrt{sin x}}{sqrt{cos x}}-frac{sqrt{cos x}}{sqrt{sin x}} ight)dx$ $=intfrac{sin x-cos x}{sqrt{sin xcos x}}dx$ $=intfrac{(sin x-cos x)dx}{sqrt{frac{1}{2} (1+2sin xcos x)-frac{1}{2}}}$ $=intfrac{(sin x-cos x)dx}{frac{1}{sqrt 2}sqrt{left(sin^2 x+2sin xcos x+cos^2 x ight)-1}}$

$=-sqrt{2}intfrac{d(sin x+cos x)}{sqrt{(sin x+cos x)^2-1}}$ $=-sqrt{2}lnleft|(sin x+cos x)+sqrt{(sin x+cos x)^2-1} ight|+C_2$
（因為積分公式： $intfrac{du}{sqrt{u^2-1}}=lnleft|u+sqrt{u^2-1} ight|+C$ ）

兩式相加除以2，得原函數式：

$M=frac{sqrt{2}}{2}left[arcsin(sin x-cos x)-lnleft|sin x+cos x+sqrt{2sin xcos x} ight| ight]+C$

因為在 $[0,frac{pi}{2}]$ 有 $sin x+cos x+sqrt{2sin xcos x}>0$ ，故：

$int_0^{frac{pi}{2}}sqrt{ an x}dx$

$=frac{1}{sqrt{2}}left[arcsin{(sin x-cos x)}-lnleft(sin x+cos x+sqrt{2sin xcos x} ight) ight]_0^{frac{pi}{2}}$

$=frac{1}{sqrt{2}}left[frac{pi}{2}-left(-frac{pi}{2} ight) ight]-frac{1}{sqrt{2}}left[ln1-ln1 ight]$

$=frac{pi}{sqrt{2}}$

以上。

請問掌聲在哪裡？

好久沒算留數了，手癢。。大家還是贊樓上吧，那方法贊爆了

$int_0^{pi /2}sqrt{ an x}dx=2int_0^{+infty}frac{u^2}{u^4+1}du=int_{-infty}^{+infty}frac{u^2}{u^4+1}du\(u=sqrt{ an x})$
如果是算不定積分的話，把u^4+1分解因式，就有
$frac{u^2}{u^4+1}=frac{1}{2sqrt 2}(frac{u}{u^2-sqrt 2u+1}-frac{u}{u^2+sqrt 2u+1})$
兩個二次式就可以積出來了.

然後如果是算那個反常積分的話，算留數最快了.
圍道怎麼取就不畫了，這是最簡單的一種.
記 $f(z)=frac{z^2}{z^4+1}du$ ，在圍道裡面有兩個一階極點， $exp(pi i/4)$ 和 $exp(3pi i/4)$ ，因此
$int_{-infty}^{+infty}frac{u^2}{u^4+1}du=2pi i(Res(f,exp(pi i/4))+Res(f,exp(3pi i/4)))=frac{sqrt2}{2}pi$

我贊了那個數學雜技的答案。
不過我還是覺得。。。這個問題不值得用這麼花哨的辦法吧。。。
直接換元 $t=sqrt { an x}$ ,就轉化成一個有理分式的不定積分了吧。
原函數都可以很輕鬆地求出來。

雜技很好看，但是還是學習一個普遍適用的方法對你幫助更大。

上面答得都很好。
補充一種做法，可以不需要技巧。
用gamma函數，可以計算所有形如∫cos^a*sin^b dx(從0到pi/2) a&>-1,b&>-1
的積分。
具體做法是做代換:sin^2(x)=t,化為B函數B((a+1)/2,(b+1)/2)，然後用B函數和gamma函數的關係，B(p,q)=Γ(p) Γ(q) /Γ(p+q)，轉換成gamma函數，利用 gamma函數的性質計算
(手機碼字，排版勿怪)

答案如下：
$int_0^{frac{pi}{2}}sqrt{ an x}dx$
$=frac{1}{sqrt{2}}left[arcsin{(sin x-cos x)}-lnleft(sin x+cos x+sqrt{2sin xcos x} ight) ight]_0^{frac{pi}{2}}$
$=frac{1}{sqrt{2}}left[frac{pi}{2}-left(-frac{pi}{2} ight) ight]-frac{1}{sqrt{2}}left[ln1-ln1 ight]$
$=frac{pi}{sqrt{2}}$

可以用GAMMA函數和B函數。。

Devymex Wang的數學雜技稱為《組合積分法》，（有一本書就叫這個名字），裡面講了很多複雜的三角函數如何求原函數，是一種值得學習的技巧！
我曾經試圖計算∫(sinx)^(1/2) ,積分區間0~π，但找不到原函數。若使用留數定理，會遇到一個不知道極點是幾階的函數，無法使用留數定理。只能用gamma函數和beta函數給一個結果

那x tan(x)^p,-1&

計算機給出結果 $frac{sqrt2}{2}pi$