可否用較容易理解的方式解釋一下向量空間，歐式空間呢？

12-04

數學

舉個通俗的例子。我們玩過象棋，那麼究竟什麼是象棋呢？
象棋的本質是它的行走規則，至於它的棋子是木頭的、石頭的還是玉的無關緊要。改變了象棋的行走規則它就不是原來的象棋了，但改變棋子它還是象棋。
向量空間的本質也是它的運算規則，它是定義了兩種運算滿足八條規則的集合，是對n維向量運算的概括抽象，這一抽象大大擴充了向量的概念，向量這一概念不單指有序實數列，還可以是函數、矩陣、多項式、映射等等，所以向量空間的元素究竟是什麼就變得不重要了。
下象棋可以讓棋，我可以讓你兩個馬、兩個兵或者兩個象，但只要其他棋子行走規則不變，它依然是象棋。這就類似由部分向量生成向量空間，向量的「多少」不是本質，本質在於運算規則不變。
從歷史來源的角度來看，哈密頓為了擴充複數概念而發展了四元數，然後根據四元數發展出向量這一概念，最後經格拉斯曼《擴張論》的工作引出了向量空間這一概念，具體的歷史可以讀圖靈出版社的《代數的歷史》或者李文林《數學史》。理解數學概念最好的方式有且只有一種，那就是歷史的方式。
那什麼是歐式空間呢？這要跟幾何學發展的歷史聯繫起來，非歐幾何出現之後人們的思維打開了，幾何學不止一種。歐式幾何的關鍵就在於角度、長度的度量，因此需要在抽象的向量空間中引入長度、角度的概念。這就如同在象棋中引入棋子之間的距離，角度一樣，使其可以度量。
我這種通俗的比喻的回答未必貼切，只是一種方便的理解，現代數學的理解必須是抽象的，抽象才是現代數學的靈魂。

腦袋裡想的是三維物理空間，筆下寫的卻是向量空間。

藉助數學語言可以很容易地從實例走向抽象，甚至描述不曾見過的高維空間。