x，y是正實數，解方程x^6-y^6=2016xy^2?

12-04

正實數解感覺應該是有無窮多組，但正整數解倒是只有一組（先給正整數解，後面再給實數解）。

正整數解：
設 $(x,y)=d,x=x_{1} d,y=y_{1}d$ ，這裡有 $x_{1} >y_{1}$
則 $d^{3}(x_{1}^{6}-y_{1}^{6})=2016x_{1} y_{1}^{2} ,(x_{1} ,y_{1} )=1$
注意到 $(x_{1},x_{1}^{6} -y_{1}^{6})=(y_{1},x_{1}^{6} -y_{1}^{6})=1$ ，故有 $x_{1}^{6} -y_{1}^{6}| 2016Rightarrow x_{1}^{6} -y_{1}^{6}leq 2016$
又 $x_{1}^{6} -y_{1}^{6}=(x_{1} -y_{1} )(x_{1}^{5} +x_{1}^{4}y_{1} +cdot cdot cdot +y_{1}^{5} )geq 5y_{1}^{5} Rightarrow 2016geq 5y_{1}^{5}$
故 $y_{1} =1,2,3$ ,則 $x_{1}^{6}leq 2016+y_{1}^{6}leq 2745Rightarrow x_{1}=1,2,3$
注意到 $x_{1} >y_{1} Rightarrow y_{1}=1,2$
若 $y_{1} =1$ ， $x_{1} =2,3$ ，即 $x_{1}^{6} -y_{1}^{6}=63,728$ ，取 $x_{1}^{6} -y_{1}^{6}=63$ （因為 $728$ 不是 $2016$ 的約數），此時 $x_{1}=2 ,y_{1}=1Rightarrow d^{3}=64Rightarrow d=4$ ，故 $(x,y)=(8,4)$
若 $y_{1} =2Rightarrow x_{1}=3$ ，即 $x_{1}^{6} -y_{1}^{6}=665$ ，但 $665$ 同樣不為 $2016$ 的約數，矛盾.
綜上，上述方程有且只有一組正整數解 $(x,y)=(8,4)$ .

正實數解：
令 $z=y^{2}$ 有 $z^{3}+2016xz-x^{6}=0$
記 $D=672^{3}x^{3}+frac{x^{12} }{4}>0$
由Cardano公式：上述方程有且只有一組實數解 $z=sqrt[3]{frac{x^{6}}{2}+sqrt{D}}+sqrt[3]{frac{x^{6}}{2}-sqrt{D}}$
容易驗證，當 $x>0$ 時， $z$ 也是正的（上面這個解的形式應該化簡不成比較簡單的樣子）
故 $y=sqrt{z}=sqrt{sqrt[3]{frac{x^{6}}{2}+sqrt{D}}+sqrt[3]{frac{x^{6}}{2}-sqrt{D}}}$ ，這裡 $D=672^{3}x^{3}+frac{x^{12} }{4}$
這是條第一象限里的曲線，顯然有無窮多組：