是否存在非零整數數a，b，c，使ae＋bπ＋c＝0？

12-04

e 自然對數底數
π 圓周率
好奇
我提問的時候可能是傻了
原問題「是否存在非零實數a，b，c，使ae＋bπ＋c＝0？」修改為「是否存在非零整數a，b，c，使ae＋bπ＋c＝0？」
以及一個副問題「是否存在非零的代數數a，b，c，使ae＋bπ＋c＝0？」

答案是不知道。問題等價於「是否存在有理數 $a, b, c$ 使 $ae+bpi+c=0$ 」。我們需要用到以下前提：

我們不知道 $pi + e$ 或 $picdot e$ 是否為有理數 [注]

假設不存在符合條件的 $a, b, c$ ，則顯然 $a = 1, b = 1$ 不符合條件，即 $pi + e$ 不為有理數，與前提[不知道 $pi+e$ 是否為有理數]矛盾。
假設存在符合條件的a, b, c，考慮方程 $0 = (x - ae)(x-bpi) = x^2 - (ae + bpi)x + abcdot epi = x^2 + cx + abcdot epi$ 。[反證法：假如 $epi$ 為有理數，可推出方程的2個根均為代數數；而我們已知 $ae, bpi$ 均為超越數，因此 $epi$ 為無理數。]這與前提[不知道 $epi$ 是否為有理數]矛盾。

綜上，我們不知道是否存在有理數 $a, b, c$ 使 $ae+bpi+c=0$ 。

[注] 見22: http://www2.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf

非零實數？題主你確定？

a=1，b=1，c=-e-π？

等價於e和pi是否代數相關，目前未知