概率論趣題：有空箱子的期望數是多少？

12-04

你有K個球，M個空箱子。現在你獨立並且隨機的把每個球放入空箱子中去。問最後，剩餘空箱子的數目的期望是多少？

首先給每個箱子編號，號碼從1到M。然後定義隨機變數 $A_i (i=1,...,M)$ ，其取值為
$A_i=egin{cases} 1 ext{，如果第$i$號箱子最後是空的} \ 0 ext{，如果第$i$號箱子最後不是空的} end{cases}$
那麼容易計算
$mathbb{E}(A_i)=P(A_i=1)=(frac{M-1}{M})^{K}$
於是
$ext{空箱子數的期望}=mathbb{E}left( sum_{i=1}^{M}{A_i} ight)=sum_{i=1}^{M}{mathbb{E}(A_i)}=frac{(M-1)^K}{M^{K-1}}$

有n個箱子為空的概率為：p=Cm(m-n）*Cm-n+k+1(k)
期望為 $sum_{0}^{m-1}{pn}$