代數數是否具有冪級數意義上的協調性？

12-04

設 $X$ 是一個整數集的子集，如果 $sum_{nin X}2^n$ 是代數數，則 $sum_{nin X}3^n$ 是否一定是代數數？謝謝。
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感謝關注和評論，尤其感謝@Vicktore 的擴散傳播。@王箏建議修改標題，提醒我們將問題的背景交待得更清楚一些。我們近期找到一種在整數集的基礎上直接構造正實數的方法，在此基礎上嘗試尋找將自然數集上的tetration推廣至正實數集的新途徑。為此我們定義了度量空間上給定二元運算的左（右）乘概念。

設 $circ$ 是度量空間 $S$ 上滿足指定條件的二元運算，則 $circ$ 存在形如
$f:S imesmathbb{R}^+ o S$
的右乘或左乘。統稱廣義乘。可以證明，正實數集上的乘法，既是加法的左乘也是加法的右乘；正實數集上的乘方（冪指運算）是乘法的左乘和右乘。但正實數集上的乘方既不存在左乘，也不存在右乘。更準確地說，假如承認乘方存在形式左乘和右乘，其對應的二元函數與常見函數也存在天壤之別，這種函數處處不連續，並且任意點的任意鄰域中都存在發散點（一個處處有漏洞的世界）。這可以解釋，為什麼到目前為止的所有將tetration推廣至連續統的方案都差強人意。
廣義乘的概念對很多稀奇古怪的二元運算都有效。假如實數集上的 $circ$ 滿足，任給實數 $x,y$ 都有 $xcirc y=x+2y$ . 則這個 $circ$ 存在右乘但不存在左乘。再假定 $*$ 是 $circ$ 的右乘，則本命題等價於：

任給正實數中的代數數 $a$ ， $1*a$ 是否仍然是代數數？
一個相關的結論是，任意兩個代數數在經典乘法的意義上相乘仍然是代數數。推廣的問題是, 假如正實數集上的一個有理的線性的二元運算存在廣義乘，兩個代數數在這個廣義乘的運算下結果是否仍然是代數數？

已經搬運到MSE。

有人已經提出，首先需要回答這個問題： $(sum_{nin X} 3^n)$ 究竟可不可能是無理代數數？畢竟它的小數部分乘以2以後正好就可以是Cantor集中的所有元素，而Cantor集中是否所有無理數都是超越的呢？這似乎是個尚未解決的艱深問題。

同時，也有人指出，幾乎所有的 X 都會使得這兩個數同時為超越數。這個說明起來還是很簡單的。因為代數數總共只有可數個，因此只有可數個X可以使得第一個為代數數，也只有可數個可以使得第二個為代數數。

謝邀。

我只知道這兩個表達式同時為有理數或無理數，因為無非就是換一下進位，而有理數在不同進位下永遠表現為循環小數。至於原問題，遠遠超出我的知識範圍。。我甚至不知道對於給定的X，那個表達式是否是超越數。。比如0.101001000100001...這是初中課本上經典的無理數（無限不循環小數）的例子，但是這個數是不是超越數？我不知道，我也懷疑這種問題可能是現在的數學解決不了的問題。。