求數學大神解《量子江湖》中的一道數學題，書中答案很模糊，貌似是e的負一次方？

12-04

莊裡的男人下田幹活，累了休息時，都把草帽隨便扔在一棵樹下，等到休息結束時，大家又都隨便拿一頂戴上，問沒有一個人拿到自己原來草帽的概率為幾何？人數為正無窮。

很明顯，這是一個錯排問題。
滿足要求的方案數公式為：
$D(n)=n!*sum_{k=2}^{n}{frac{(-1)^{k} }{k!} }$
同時，所有可能的方案數為：
$A_{n}^{n}=n!$
所以：
$P=sum_{k=2}^{n}{frac{(-1)^{k} }{k!} }$

人數為正無窮。

即求
$lim_{n ightarrow infty }{sum_{k=2}^{n}{frac{(-1)^{k} }{k!} } }$
令
$f(x)=lim_{n ightarrow infty }{sum_{k=2}^{n}{frac{(x)^{k} }{k!} } }$
則
$f$
即求
$f$ 的解。
形如這樣的微分方程可用公式法求解。
解得
$f(x)=e^{int_{}^{}-(-1)dx } *(int_{}^{} x*e^{int_{}^{} (-1)dx} +c)=c*e^{x} -x-1$ $f(x)=c*e^{x} -x-1$
其中 $c$ 為常數
由 $f(x)=lim_{n ightarrow infty }{sum_{k=2}^{n}{frac{(x)^{k} }{k!} } }$ 可知， $f(0)=0$
帶入 $f(x)=c*e^{x} -x-1$
解得 $c=1$
所以 $f(x)=e^{x} -x-1$
所以
$P=sum_{k=2}^{n}{frac{(-1)^{k} }{k!} } =f(-1)=e^{-1}$
———————————————————————————————————————————
可以將 $e^{x}$ 泰勒展開，就能知道答案，不用求微分方程。

這個問題有一個非常粗糙的理解，若有 $n$ 個人，其中一個人拿錯帽子的概率是 $frac{n-1}{n}$ ，當 $n$ 非常大的時候，兩個不同的人拿錯可以視為獨立的事件(比方說你想像中國的13億人在那裡撿帽子)，所以都拿錯的概率是 $(frac{n-1}{n})^n$ ，就接近 $frac{1}{e}$ 了

提供另一種思路~
通過求對立事件的概率，也就是至少有一個人拿對的概率~~
假設有N個人
第 $i$ 個人拿對的概率： $P(A_{i})=frac{left( N-1 ight)!}{N!} =frac{1}{N}$
第 $i$ 和第 $j$ 個人拿對的概率： $P(A_{i}A_{j})=frac{left( N-2 ight)!}{N!} =frac{1}{Nleft( N-1 ight) }$
依此類推，都拿對的概率： $Pleft( A_{1}A_{2} ...A_{N} ight)=frac{1}{N!}$
所以都沒拿對的概率：
$P=1-Pleft( A_{1}cup A_{2} cup ...cup A_{N} ight)$
$=1-left( C_{N}^{1} frac{1}{N} -C_{N}^{2} frac{1}{Nleft( N-1 ight) }+...+left( -1 ight)^{N-1}frac{1}{N!} ight )$
$=sum_{k=2}^{N}{frac{(-1)^{k} }{k!} }$
當 $N$ 取 $infty$ 時， $P=e^{-1}$

題主也可以試著算一下期望，會發現一個有趣的結果：無論總人數N為多少，平均只有一個人可以拿回自己的草帽O(∩_∩)O~~

這不就是大名鼎鼎的伯努利—歐拉信封問題么？

樓上都說的很多了，我再提供一個條件概率的思路，並把問題擴展一下，如果一共 $n$ 個人，有 $k$ 個人拿對帽子的概率是多少。
記有 $n$ 個人，沒有匹配的概率為 $P_n$ 。若記這個事件為 $E$ ，第一個人選對自己帽子的事件為 $M$ ，根據條件概率
$P_n=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|M^c)P(M^c)=0 imes P(M)+P(E|M^c)frac{n-1}{n}=P(E|M^c)frac{n-1}{n}$
我們繼續展開 $P(E|M^c)$ 。這個概率指的是這 $n$ 個人當中除了第一個人以外的 $n-1$ 個人，選第一個人選剩下的 $n-1$ 頂帽子，沒有配對的概率。我們先寫出形式
$P(E|M^c)=frac{1}{n-1}P_{n-2}+P_{n-1}$
這個條件概率的等式比較難理解。我們可以這樣理解它。不妨設第一個人拿了第二個人的帽子，那剩下 $n-1$ 個人沒有配對的概率為，第二個人拿了第一個人的帽子，剩下 $n-2$ 個人彼此沒有配對的概率加上第二個人沒有拿第一個人的帽子，所有 $n-1$ 個人沒有配對的概率。之所以這樣拆分，是因為第一種情況下，第二個人本來可以拿到屬於自己的帽子，但是由於第一個人把他的帽子拿走了，他「被迫」的拿錯了帽子。而第二個人拿了第一個人帽子的概率為 $frac{1}{n-1}$ ，剩下 $n-2$ 個人不配對的概率為 $P_{n-2}$ 。第二種情況的概率則就為 $P_{n-1}$ 。
代入上式，我們就有
$P_n=frac{n-1}{n}P_{n-1}+frac{1}{n}P_{n-2}$
整理得
$P_n-P_{n-1}=-frac{1}{n}(P_{n-1}-P_{n-2})$
再根據 $P_1=0$ ， $P_2=1/2$ ，一層層遞推
得 $P_n=sum_{i=2}^{n}(-1)^ifrac{1}{i!}$
也就是樓上各位的答案

至於擴展， $n$ 個人中 $k$ 個配對的概率為
$C_n^kfrac{1}{n}frac{1}{n-1}cdotcdotcdotfrac{1}{n-(k-1)}P_{n-k}=frac{sum_{i=2}^{n-k}(-1)^ifrac{1}{i!}}{k!}$
當 $n ightarrowinfty$ ，這個概率為 $e^{-1}/k!$

這不就是概率論中很有名的信封配對問題嗎？
解答如下

數學不太懂，但我比較在意這本書更新沒有T T

信封問題啊答案是e分之1