分母（除數）為什麼不能為0？

12-04

數學總是很嚴謹的，正如根號下不能為負數（實數範圍內）是因為找不到一個實數的平方等於負數。
小學的時候數學老師說除數（分母）不能為零的原因是除法是乘法的逆運算。任何數*0=0，所以假如除數為零而被除數不為零，則找不到任何一個數*0不為零的。那時候我問「那是不是被除數為零，除數就可以為零了？」老師沒有正面回答我，只是說不可以。
=========================================
為何如此堅決地否定分母為零的情況？數學中不乏規定零特殊運算的最終結果。如0!=1;n的0次方=1;等。那為何不規定任何數除以0=無窮？而直接規定為「無意義」?

其實數學上規定四則運算規則的時候，這一點是如何被訂立的？發展史上有人給出了相應解釋了么？

自己搬運維基百科的兩個解釋。其中第一個為自己翻譯（有錯請指出）

代數中除法的定義為乘法的逆運算，如

6/3=2成立

是因為2帶入以下乘式中未知的值

？*3=6

是成立的。

而以下算式

6/0=？

則需要尋找一個未知的值使得以下等式

？*0=6成立。

但是任意一個值乘以0都是0，所以根本沒有一個數可以使這等式成立。

而算式

？*0=0

則需要一個未知值使得以下算式成立。

同樣，任意一個數乘以0都是0，所以這個情況下任意一個數字都能使算式0/0成立而不是只有唯一值。

綜上，一個唯一值無法被賦給一個分母為0的分數，所以除式的值是無法確定的。0/0為稱為indeterminate（不確定的）

2.除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1

由：

0*1=0

0*2=0

得出：

0*1=0*2

除以零得出

0/0 *1=0/0 *2

簡化，得出：

1=2

以上謬論假設，就是某數除以0是容許的並且0/0=1

參考維基百科Division by zero

果殼搬運，侵刪。。。

如果你問蘋果手機上的Siri，「零除以零等於多少」，它會顯示：

但是，英文版的Siri還會用語音說這一段話：

「假如你有0塊餅乾，要分給0個朋友，每個人能分到幾塊？你看，這個問題沒有任何意義吧？甜餅怪會難過，因為沒有餅乾吃，而你也會難過，因為你一個朋友都沒有。」

（中文版也會，但言辭就沒那麼傷人了……）

拋開這個傷人的回答不論（有朋友誰特么會跟你聊天啊喂！），除以零確實是個困擾很多人的問題。十除以二等於五，六除以三等於二，一除以零是多少？小學數學就會告訴你，答案是不能除。但是為什麼？零也是個數字，它到底哪裡特殊了？

小學篇

小學算術里，這個問題很簡單。那時我們把除法定義成「把一個東西分成幾份」，分成一二三四五六七份都很容易想像，但是你要怎麼把10個餅乾分給0個人呢？想像不出來嘛！所以不能除。

敏銳的同學可能會想到，要是0個餅乾分給0個人的話，本來無一物，好像就沒關係了。但既然無物也無人，每個人分得多少都是可能的呀，根本無法給出一個單一確定的數值。

這結論沒錯，但這都是憑直覺而得到的東西。你想像不出來，不一定意味著它沒有。遠古時代的數學是建立在直覺上的，買菜是夠用了，但要進一步發展，就必須要有定義和證明——所以，我們上了中學。

初中篇

現在我們開始接觸最最基本的代數學——也就是解方程。我們發現，除法和乘法互為逆運算，所以問

1 / 0 = ?

就等於是解方程

0 * x = 1

好了，按照定義，0乘以任何數都是0，不可能等於1，所以滿足x的數字不存在，所以不能除。

同樣，如果問

0 / 0 = ?

就等於是解方程

0 * x = 0

同理，任何數字都可以滿足x，所以也不能除——無法確定一個單一的答案。

高中篇

等到接觸了基本的形式邏輯，我們又會發現另一種證明方式：反證法。

一堆真的表述，不能推出一個假的表述，所以如果我們用「能夠正常地除以零」加上別的一堆真表述，最後推出假的來，那隻能說明「除以零」這件事情不成立了。

所以，已知

0 * 1 = 0

0 * 2 = 0

推出 0 * 1 = 0 * 2

兩邊同時除以零，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化簡得到 1 = 2。這顯然是錯的啦。

那麼，問題解決了吧！其實還沒有。想想另一個問題：-1的平方根是多少？

你可能會說，-1不能開平方根，因為所有數的平方都是非負的。但是這說的是實數，我要是增加一個定義呢？定義i^2=-1，這就創造出了虛數，於是-1也能開平方根了。

那麼，為何不能定義一個「新」的數，讓 1 / 0 也等於它，並為這個數設立一套運演算法則呢？這就得去大學裡回答了。

大一篇

剛學微積分課程就會立刻接觸到∞這個符號。咦，這不就是「無限」嘛。我們都學了極限的概念了，那麼我令b趨向於0，然後把a/b的極限定義為無窮，不行嗎？

這就立刻遇到一個問題，它的左極限和右極限不一樣啊。b是從負的那頭靠近0，還是正的那頭？這一個是越來越負，一個是越來越正，碰不到一起去。這樣的極限是沒法定義的。

因此，微積分課程里會反覆說，雖然用到了∞這個符號，但是這只是代表一個趨勢，絕對不是一個真正的數，不可參與運算。

大二篇

那麼吸取教訓，我不用現成符號了，我直接定義 1 / 0 = w，w是個「無限大」的數，不碰什麼極限，你總沒話說了吧！

然而，定義不是說來就來的，你雖然可以隨便定義東西，但定義完了如果和現有的其他系統矛盾，那就不能用，或者很不好用。

而我們面對w立刻就遇到了問題。首先，w要怎麼放入基本的加減乘除體系里？1 + w等於多少？w - w等於多少？如果你造了一個數，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對吧。

比如直覺上，1 + w 應該等於 w，它都無限了嘛！而 w - w 則等於0，自己減自己嘛！

但這樣立刻會和加法里極其重要的「結合律」產生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。結合律是加法里非常基本的東西，為了一個w，連結合律都不要了，這成本有點大——不光是結合律本身，多少數學定理證明過程中不自覺都用了它，扔了它就都得重來，建立新體系。新體系不是不能建，但是費心費力又（暫時）無卵用，所以大家還是在老實用舊的——而舊的裡面，為了保住結合律，就不能這麼玩。

歡迎讀者們發揮自己的想像力，嘗試為 w 給出運算方式。但是你會發現，無論怎麼規定w和別的數字之間的關係，只要你還堅持 1 / 0 = w，你就沒法讓它和你從小學習的基本數學不矛盾。還是那句話，你可以另立門戶，在w的基礎上建立起你的新數學，但它和大部分傳統數學是不相容的，而且肯定會非常不好用，所以我們用了一個不能除以零的體系是非常合理的。

大三篇

你可能會提出反對：有那麼多的定義方式，我都試過？要是沒試過，我怎麼知道不會某一天冒出來一個能夠自洽的辦法？

「新發現推翻舊結論」這種事情，在生物里可以有，化學裡可以有，物理里可以有，唯獨數學裡沒有。因為數學建立在邏輯上，個案有例外，邏輯沒有例外。當然我們的數學還沒有完成最終公理化，還要面對哥德爾的幽靈，但至少在這個例子里，如果w是一個真正的數，那它就違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。

比如有一組基本的公理叫「皮亞諾公理」，其中有一條說，每一個確定的自然數都有一個確定的後繼，後繼也是自然數；另一條說，自然數b=c，當且僅當b的後繼=c的後繼。

那w是誰的後繼呢——或者說，誰加上1能得到w呢？顯然所有其他的數字都已經有了自己的後繼，w在其中沒有位置，沒有任何其他的數加上1能成為w。那麼就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句話矛盾。而沒有皮亞諾公理，整個自然數的體系都不能成立。

這裡假定w是自然數。其他情況會略微複雜一些，但無論如何，類似的事情發生在w的各種定義里。如果你想把w當成一個數，那就沒法和我們現有的實數兼容。所以我們在幾乎所有場合下都只能宣布，不能除以0。

大四以上篇

既然我們之前說了個「幾乎」，那就是有例外的——在個別奇葩場合下，可以。

比如有一個東西叫做「復無窮」，它是擴充複平面上的一個點，真的是有定義的一個點。在這個特殊的規則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式。這麼做的原因就說來話長了，但它不是平常意義上的運算——比如你不能把0拿回來，不能寫 1 = 0 * ∞。

另外，「無窮」二字在一些別的場合下是可以當成一個「東西」去對待的。比如當你衡量一個集合的大小的時候，它可以是無窮大的。但這就有很多種不同的無窮大了——自然數是無窮多的，有理數是無窮多的，實數也是無窮多的，可是奇數和偶數和正整數和負整數和自然數和有理數都一樣多，而實數卻比它們都多！同樣是無窮，有的無窮比別的無窮更無窮。但這就是另一個話題了，打住。

總結篇

所以，當我們說不能除以零的時候，理由……竟然出乎意料地充足。有許多直覺在數學裡被推翻了，但是這一條沒有。我們有種種數學上的方式去證明它無法成立的原因，雖然也許聽起來不如Siri的回答那麼心暖（或者心寒），但這些理性的愉悅也是一種美麗，對吧？

除數，是為了處理分配情況的。
舉例，6個蘋果，分給每人兩個，可以分給3個人，分完之後蘋果沒有剩餘。
如果6個蘋果，分給每人0個，可以分給無限個人，但是卻分不完，最後還是有6個蘋果剩餘。因此0不能作為除數或分母。

搜維基百科，無窮的定義，1/0等於無窮是成立的。。。
雖然我也不是很懂，但是這種想法也是說得過去，本來無窮也是個抽象的概念。
先問是不是再問為什麼。

原因：假設你談的是有理數，有理數去掉0關於乘法才構成一個可交換群。也就是說定義為無意義是因為不滿足下面的存在性。

在求解a*x = b，關註解的唯一性和存在性。
唯一性：為了使得x唯一，那麼對於a*x=a*x"來說，要有x=x"(無零因子的性質)
存在性：如果a有唯一的乘法左逆元a", 那麼有a"*a*x=a"*b，x=a"*b，假設a任意，如果a在一個群裡面，a有唯一逆元，所以一定能求解，且唯一。

但是群的定義中，沒有明確要求可交換。
也就是說求解a*x=b，解x=a"*b，其中a"是a的逆。
但是求解x*a=b時，解x=b*a"，其中a"是a的逆。
也就是說除法的定義在這裡面是沒有意義的，因為a"*b和b*a"不一定是相等的。

除法有意義，是指不區分a"*b,和b*a", 那麼要求可交換的性質。
a"*b=b*a"=b/a

a不能為0，是指在有理數中，0關於乘法運算沒有逆元。有理數去掉0才構成一個可交換群。。。有理數關於加法也構成一個可交換群。那麼有理數關於乘法，加法構成一個域。
那麼為什麼要出現一個0額。
結合加法和乘法的公式是a*(b+c)=a*b+a*c
假設a*c-a*c=a(c-c) ,這裡「-」代表加法的逆運算，很顯然a*c-a*c=e, c-c=e,這裡面e代表加法裡面的單位元(0)，既a*c-a*c=a(c-c)=a*e=e。也就是說因為結合律，使得任何元素乘以加法裡面的單位元都等於加法裡面的單位元(0)。

其實很多教材上除法是由環，去構造域的時候，導出來的。
近視代數學的爛，所以講不清楚。

「無意義」不是定義出來的，而是不定義（結果）。

狗尾續貂一把
個人理解數學就是讓自然的東西自然就好，0能不能作為除數只是一個規定問題，所以如果確實要討論的話，那就只是在討論這個規定的合理性，所以在通常意義下0不能作為除數，花哨的說就是：這會使得有理數的環結構坍塌，更具體地說因為有理數域是整數環的局部化，而用於局部化的乘法集如果含0的話，會使局部化後的環平凡化。當然這是非常花哨的說法，前面的諸位也給出了很多論證其不具合理性的理由，私以為這些理由是直觀的基礎，但並不是作為邏輯的終點，意思就是如果有人就要去鑽那個牛角尖，就會很麻煩，比如分東西一例，如果有人說他就要把6個蛋糕分給0個人。。好吧，雖然這很沒有意思。。。個人比較接受的說法是：因為局部化是形式上的代替我們心目中除法的數學抽象的過程，如果這個將0放入乘法集當中會引起結構的坍塌，說明我們無法將0可除這件事與分東西這種直觀在這一種特定的過程下統一起來。當然，你可以用其他方式來統一，像在黎曼球面上的1/0=無窮，這些都是後話，也都是在新的框架下的新的統一方式。。
筆者覺得是這樣
因為朋友慫恿，回答比較倉促，有人看的話不要嫌棄拙見。

為什麼分母不為零呢？因為世上不存在絕對突變，所有的變化都是有過程的，形容變化快慢時，我們用以除法為模型的變化率來描述。當分母（除數）為零時，變化率接近無窮。然而剛剛我們說了，世上不存在絕對的突變。所以，分母是不可能為零的。

除法是乘法的逆運算，如果一個不為零的數除以零有商，即是說明零乘以商得一個不為零的數。而事實上這是不可能的，所以是不成立的。而0/0=a/0-a/0,所以被除數是零的時候也是不成立的。

0/0=100-100/100-100=(10+10)(10-10)/10(10-10)=2,分母可以為零嗎？

也許問題沒那麼複雜，分母可以為0，我們看下面這6條規則，或者稱之為公理：

規則1、0＋x＝x，0加任何數等於所加之數，稱為0加規則
規則2、0×x＝0，0乘任何數等於0，稱為0乘規則
規則3、∞＋x＝∞，∞加任何數等於∞，稱為∞加規則
規則4、∞×x＝∞，∞乘任何數等於∞，稱為∞乘規則
規則5、0×∞＝x，0乘∞等於任何數，0極小，∞極大，兩極相乘，故稱為極乘規則
規則6、加法與減法互為逆運算，乘法與除法互為逆運算，稱為變形規則。

在這6條規則之內，對∞做加減乘除就很容易,
比如，0/0＝x，即0除0可以等於任何數，表明0/0的結果發散，由規則2變形就可以得到；
再比如，1/0＝∞，2/0＝∞，由規則5變形可以得到，
那麼，1/0＝2/0，由於0/0＝x，我們應該把0/0看成一個整體，看成一個未知數，
這時的1/0＝2/0，則是一個關於0/0方程的等式，通過變形可以得到0/0＝2，或者0/0＝1/2。
即對於0/0＝x，在1/0＝2/0這個運算場景中，x的取值由發散收斂為{2,1/2}。

我認為除數可以是0的。

首先 0 != -∞

首先文字表述我的立場餅乾分出N個無窮小部分，和一部分也不分出去時兩種情況。如此一塊也就分配出兩個不平均數了（餅乾本身{後面我用self 表示本身部分}，已經 N個未分配單元（nil表示未分配單元））我個人認為 8/0 前部分是成立的。

但是後部分 = {self,nil*N}一個集合而不是單獨一個自然數。

再來看 1*10 和 1*（1+9）如果非常簡單使用 6*10 = 6*（1+9）。忽視一點 (1+9) 和 *6 忽視一點（1+9）和 *6不是同一個時空下進行只是兩個數值相等。並不是過程相等。

以下省略無數文字

1/1=1
1/0.1=10
1/0.01=100
=/0.001=1000……
……
……1/0=無限？

如果可以就會有以下奇葩證明：
證明，對任意x，x=2x
x=x
x^2=x^2
x^2-x^2=x^2-x^2
x(x-x)=(x+x)(x-x)
x=x+x
x=2x

我是在@herolandis 的答案下看到的，雖然他回答的並不是這個問題
鏈接： http://www.zhihu.com/question/33528425/answer/56813421

之前在網上也找過相關回答，按照自己的理解跟擼主分享

==================================

首先樓主已經明白「除法」是「乘法」的逆運算，假設存在實數a和b，存在唯一實數c，即a=b×c，那麼c就為a÷b的商，即a÷b=c，其中a成為被除數，b為除數。
OK，現在假設b=0：
1.當a≠0時，即不存在任意0×c的實數c，所以a÷0不存在。
2.當a=0時，對應任意實數c均能滿足0×c，所以0÷0的商不唯一。
我想客官已明白，要麼這個數不存在，要麼不能確定解，那還有意義嗎？

0可以做除數。5÷0=0餘5。⑤個紅包分給0個人，也就是不分給任何人。每個人①個紅包都沒有。還剩5個紅包。5/0表示平均分成0份。本人是pupil

分母為0的式子沒有意義，是因為現在人們還沒有發現其可以應用的領域。

在過去，根號內為負數是沒有意義的，可是當複數的意義被人們發現之後，根號內為負數就有意義了。

所以只要人們認識到了它的意義，在未來某一天分母為0的式子被定義是有可能的。