代數數與超越數哪個更多？

12-04

超越數遠多於代數數。

設整係數方程∑ i=0～n（ai*x^i）=0中，令係數絕對值的和∑ i=0~n |ai|與次數n的和為k。

每個方程可以按k的大小從小到大排列。同時每個k對應有限個方程，而方程的根又有限，因此每個k對應有限個代數數。因此代數數可數。

而由於實數不可數，實數分為代數數和超越數，代數數可數，因此超越數不可數。因此超越數遠多於代數數。

爪機黨，抱歉公式表達粗糙。

這個已經有數學家證明了，參見康托爾定理。

超越數要多得多得多。康托爾證明了將任何一個非空集合的元素與其冪集的元素一一對應是不可能的，這個事實對於有限集合很明顯，但對於無限集合就不明顯了。連續統的基數是：2^{aleph_0}
其中aleph_0 是自然數的基數。康托爾推測，連續統的基數是aleph_0之後的下一個超限數，他稱這個基數是aleph_1。這個推測稱為康托爾的連續統假設，用數學語言表示為：aleph_1=2^{aleph_0} 康托爾不懈地證明他的假設，但是始終沒有成功。問題在於，在aleph_0和連續統的基數之間可能存在一些超限數。儘管如此，這一切的深刻涵義在於可數集合的基數不僅僅是比連續統的基數小，aleph_0相比aleph_1是非常，非常，非常，非常，非常小，事實上，連續統與可數集的唯一區別在於，是否包含超越數。我們不得不承認，超越數，那些1844年之前甚至還不能證明其存在性的數，其實佔了實數的絕大部分。事實上，它們幾乎佔滿了所有的實數。

代數數是零測集，不可數，超越數測度不為零，不可數，是超越數多

勒貝格測度之下，代數數測度為0，可測的超越數集合存在無限個大於1的。

代數數是可數的，超越數是不可數的，誰多誰少很顯然

代數數是可以表示成有理係數多項式的解的數，有理係數多項式是可數的所以代數數是可數的；
由於實數是不可數的（假設(0，1)是可數的表示成一列小數抽對角線元素組成的新小數不在此列中，矛盾），去到可數的代數數當然還是不可數的

至於考慮代數數的分形維度之類的我感覺完全沒必要，因為可數集的分形維度都是零（長度面積之類的當然也都是零)

好像確實是超越數多啊……

小時候看到過無限集合分兩類，分別用一個讀作＂阿列夫＂的奇葩字母加上0或1下標標識，求高手解釋。（貌似是個和連續統有關的東西，當年還小看不懂。）