數學上還有哪些類似0.99999…=1這樣有點不符合初學者常識的有趣的事實？

12-03

初聽到0.99999…=1都會嚇一跳，不符「常識」，解釋之後又感覺數學的魅力所在。
還有那些這樣的例子？
再比如：
給地球和小皮球做一個緊箍的鋼環，同時給鋼環擴大1米，哪個球的平均空隙大？（答案是一樣大）

20151118補充皮筋與螞蟻問題……這個最開始的答案有寫然而我把自己給繞進去了就沒寫，今天看到維基的解釋恍然大悟，補上來給大家長個姿勢：
一隻螞蟻在理性彈性繩的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。彈性繩同時以每秒1m的速度均勻地拉長，螞蟻能否爬到終點？
看起來不行吧？沒錯，答案是「能」。
簡單的解釋就是假設彈性繩的速度是每秒0.9cm，那麼直覺上螞蟻就能爬到終點。而彈性繩均勻拉長意味著其上總有一點的速度是每秒0.9cm，也就是說螞蟻可以爬到這個點。接下來把整個彈性繩分段就好了。

沒必要說高深的理論，一些簡潔平凡的結論就挺有趣了。看起來難以理解，想一想就恍然大悟。

無窮是個很無賴的概念啦……什麼構造出一個全體分數集（有理數）對應正整數集的……

級數裡面全體自然數之和為-1/12也是流氓得不行……

不過其他領域這樣的玩意兒也很多啊……

微積分當中最妙又最簡潔的當屬「擺線長度等於圓直徑四倍」，這條與圓息息相關，怎麼看怎麼「無理」的一條線，長度不僅和π沒有關係，還是個漂亮的整數倍！：

當時知道「半球體積等於等底等高的圓柱切去一個圓錐的體積」的直觀解釋的時候真的是拍案稱奇。

不知道算不算幾何學，但是萊洛三角形是挺神奇的。平穩地搬運東西不一定要用圓木。

而且，不說複雜的，三角形的四心（重心、垂心、內心、外心）也很神奇啊，三種重要的線都匯聚到某個點上。
迷宮的萬能解法也挺流氓的……不過這個算圖論或者拓撲學了……說到圖論，四色猜想也很經典，然而這個不是「想一想就恍然大悟」的部分了……
嗯，對了，拓撲學裡還有個「同胚」的神奇概念，例如下面這兩個就是拓撲等價的：

看不出來嗎？

類似的，我們還可以得到「8字環和圓環同胚」的結論。在實際生活中也有應用：不打開繩結、不割斷繩子（ @吳君陽補充：也不能割斷人），是可以把下圖的兩個人解開的。這個就不給答案了，大家可以來糾結一下。

代數算是比較按部就班的領域了……五次方程沒有公式解是個挺令人沮喪的事實……
另外尺規作圖無法三等分角也是挺令人沮喪的，更有趣的是這個幾何問題要用比較深的代數方法解決。
不過有很多經典的問題可以歸入代數：
上下山問題：上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。
芝諾悖論：
阿基里斯的速度是烏龜的百倍，烏龜在阿基里斯前一百米。當阿基里斯跑到烏龜現在的位置時，烏龜多跑出去了一米；阿基里斯追上這一米時，烏龜又多跑了一厘米；以此類推，阿基里斯永遠追不上烏龜。（0.999…=1與芝諾悖論是異曲同工）
數論里有個很妙的結論，N之前素數的分布頻率與ln(N)/N幾乎相合，更準確的版本是：
$pi (n)approx int_{2}^{n} frac{dt}{ln t}$
哦對了，調和級數是發散的！
$1+frac{1}{2} +(frac{1}{3} +frac{1}{4} )+(frac{1}{ 5} +frac{1}{ 6}+frac{1}{ 7}+frac{1}{ 8})+... >1+frac{1}{2}+frac{1}{2}+frac{1}{2}+...$

另外……既然提到了0.999...我覺得有很多日經問題都可以說呀：
三門問題：
三扇門背後只有一扇門有獎金，另外兩扇是空門。參與者選擇一扇門後，主持人打開餘下兩扇門中一扇空門。這時參與者換門獲獎率是2/3，不換門的獲獎率是1/3。
（說實話我到現在還是不明白為什麼有人會覺得兩扇門獲獎率一樣……）
男女孩問題：
一家人有兩個孩子，其中有一個女孩。另一個孩子是男孩的概率是2/3。
「魔術師地毯」類問題：

生日悖論：
23人中有兩人生日相同的概率大於50%，50人時就可以升高到97%。

下面這個來自M67的Blog，告訴你為什麼大家不把「找規律填數」當數學：

圓上有 n 個點，兩兩之間連線後，最多可以把整個圓分成多少塊？

上圖顯示的就是 n 分別為 2 、 3 、 4 的情況。可以看到，圓分別被劃分成了 2 塊、 4 塊、 8 塊。規律似乎非常明顯：圓周上每多一個點，劃分出來的區域數就會翻一倍。
事實上真的是這樣嗎？讓我們看看當 n = 5 時的情況：

果然不出所料，整個圓被分成了 16 塊，區域數依舊滿足 2n-1 的規律。此時，大家都會覺得證據已經充分，不必繼續往下驗證了吧。偏偏就在 n = 6 時，意外出現了：

此時區域數只有 31 個。

下次還有人問你找規律填數，沒啥興趣的話可以這麼回答：答案是oo，因為這是一個以xx為周期的循環數列。

貼個21階完美正方形結束：

我才不會告訴你們這個一度被數學家認為是不可能做到的呢。。。打臉啪啪啪的。。。
另外，也有看起來一目了然，想起來很困難的問題……例如：

拉馬努金的各種恆等式，基本就沒有符合初學者常識的。連非初學者都常常怒喊wtf然後摔鍋。

比如這個：拉馬努金圓周率公式的原理是什麼？ - 數學
感興趣的可以再看看最高票答案的證明，看完你會再加一句wtfwtf

概率為0的事件，不一定是不可能事件；概率為1的事件，不一定是必然事件。

根據我們所學的內容，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1。但是反過來就未必成立了。
因為一般來說，僅僅得知概率是無法準確推斷出事件的。當然這是就一般而言。

對於上面我所提到的數學事實，可以參照下面的分析：
概率為 0 的事件，必然不能發生嗎？概率為 1 的事件，必然能發生嗎？ - 數學

謝邀。舉個線代裡面初學者容易搞混的東西：tr(ABC)不一定等於tr(BAC).計算多個矩陣相乘的跡並不能隨意交換順序。

1. 純虛數的純虛數次冪是實數。比如 $i^{i}=e^{-frac{pi}{2}}$ ，當然這個實數的大小與branch cut的選擇有關。

2. $e^{x}=sum_{n=0}^{+infty}frac{x^{n}}{n!}$ 對於任意 $xinmathbb{R}$ 都成立，然而分段函數 $egin{eqnarray}f(x)= egin{cases} e^{-frac{1}{x^{2}}}, x>0cr 0, xleq0 end{cases} end{eqnarray}$ 的麥克勞林級數只對 $x=0$ 成立。

3. 自然數的冪集與實數集等勢。在學離散數學時看到的，吃了一驚。

4. 連續統假設，「不存在一個基數嚴格大於可列集而嚴格小於實數集的集合」。

5. 廣義連續統假設，對於任意給定的無限集合A（元素無限個），不存在基數嚴格大於A而且嚴格小於其冪集 $mathbb{P}(A)$ 的集合。在Munkres的拓撲的課後習題看到的。

6. 無窮維空間的閉單位球不是緊集。

-----------------------------------------1/9/2017更新--------------------------------------------

1.裡面前半句「純虛數的純虛數次冪是實數」是錯的，比如 $3i^{3i}=e^{-frac{3pi}{2}}cdot e^{icdotln{27}}$ 後面那一項不是實數。

大家看評論吧，我寫錯了很多－－

量子力學中大部分理論啊…比如那個觀測者效應

五角星的五角套上五個環後，環環相交的五個點必定共圓。
$frac{1}{3} imes lim_{x ightarrow 3.65 imes 10^{6}+2425 }{frac{1}{2^{x} } } !=0$
一尺之棰（1/3米），日取其半，萬世(10000*365+閏年的年數)不竭

在分形幾何中，一條無限長的曲線能夠圍住有限大的面積。

以下是分形圖的一種，稱為Koch雪花，它的每次變化簡單而言就是每條邊都「折出一個角」。變化三次後，就已經能得到一個類似雪花的圖形。當它變化次數趨於無窮時，這個圖形的邊長也是趨於無窮的，然而它圍成的面積卻是有上界的。對初學者而言這應該很不可思議吧。

圖片是網上找的，侵刪。

@但如果的回答評論下面有很多所以我覺得不如我解釋一下。
原題如下：
一對夫妻有兩個孩子，但你並沒有見過那兩個孩子。有一天，你見到了其中一個，是一個女孩，那麼另外一個是男孩的概率有多大呢？
答主本人也說要用數學方法來做，那麼就用Bayes Rule。遇到女孩的概率是，家裡有一男一女並且遇到女孩，以及家裡有兩女遇到女孩兩種可能，加法原理算出這個概率為1/2*1/2+1/4*1=1/2。那麼其中另一個是男孩（等價於家里是一男一女）的可能是1/2*1/2是1/4，所以相除得到1/2。

當然，如果題目改為，已知家裡有一個女孩，那麼另一個孩子是男孩的概率是多大呢？這個的答案是2/3，因為家裡有女孩的概率是3/4，其中的1/2概率是男女，相除得到2/3。
補充一句：樹形圖不要亂用

懷疑人生的開始

1+1不僅可以等於2，還可以等於10

甚至……還可以等於0

跟我大聲念三遍！！
1+1＝0
1+1＝0
1+1＝0

一切都取決於選取的代數結構

Cantor集的測度為零但是與實數集等勢

不絕對收斂的無窮級數調整求和順序後可以收斂到任何一個實數

The Banach-Tarski Paradox

最容易把初學者搞暈的估計就是關於無窮大、無窮小這些關於無窮的概念了，這不必奇怪，畢竟關於無窮的概念數學家們花了幾個世紀才搞明白。

比如，我們知道兩個無窮小的乘積依然是無窮小，三個無窮小的乘積當然還是無窮小了，....，那麼無限個(可數個)無窮小的乘積呢？可以是無窮小，也可以是常數，還可以是無窮大！

然後，還有一些數學概念，初學者很容易被概念名詞的字面意思所迷惑，而忽視了其數學含義，從而覺得困惑。比如概率論中的相互獨立事件_百度百科，很多人從字面上會誤解獨立就是一點關係都沒有的意思。實際上考慮符合[0, 1]上的均勻分布的隨機變數ε，記事件A = {ε ∈ [0, 1/2] }, B = {ε ∈ [1/4, 3/4]}。很多初學者會誤以為A、B不是獨立事件。

再比如下面評論中