為什麼0到1間的實數無法與自然數建立一一對應關係？

12-03

這是用康托對角線法證明實數集和自然數集不等勢。

反設兩者等勢，那麼我們可以將0~1之間的小數像這樣列成一張表。

然後我們找一個小數，它的小數點後第一位和表中第一個小數的小數點後第一位不同，第二位和第二個的第二位不同……第N位和第N個小數的第N位不同……直至無窮，因此它不被包含在這張表中，矛盾。

問題的陳述不對。

任何實數都可以用小數表示。

但是任何用自然數編號的小數表，總有一個小數不在上面。

感覺題目被改過了，因為如果題主已經知道用「和自然數建立一一映射」這樣的語言了的話，是不大可能不知道對角線法的...

簡單的說，假如存在一個這樣的一一映射，不妨設為f，你就可以用這個f把0至1（不包含）的小數一個個編號列出來（每個小數x給它分配一個自然數f(x)作為編號）得到一個列表L（當然這個列表不會終止）。如果你列出來了，你就可以構造一個y，y的第i位和列表裡第i個小數的第i位不一樣，這樣構造出來的y和列表裡任何一項不等（因為至少有一位不一樣）所以y不在列表中，這就和之前的假設「f是一一映射」矛盾了……

當然我不知道以上有沒有回答題主的「如何找到一個無法與自然數一一映射的實數」這個問題，因為我（或者說對角線法）並沒有真的找到一個這樣的數，而是在假設存在一個一一映射f的前提下，找到了一個y……

我不知道我有沒有說清這兩個命題的區別……

題主要的是：

存在y，對任意f（f是小數到自然數的一一映射），f(y) = undefined

而我給的是：

若存在f（f是小數到自然數的一一映射），則存在y，f(y) = undefined

當然題主要的命題也沒錯啦，只是我隨便拿一個小數都可以搪塞題主啦，因為如果題主要反駁我，至少要給一個f出來啦，而這樣的f並不存在啦，所以前提根本不可能滿足，於是就是 undefined infers anything啦……

不是這麼說，任何實數都可以對應到自然數，但是取定一種對應法則以後，總是有剩下的。把0到1分成三個閉區間（交界共享），則存在一個區間不能和1對應，對這個區間，同樣三等分，有一個區間不和2對應，對該區間一樣處理，一直下去得到一個閉區間的套，那麼由0到1區間的完備性（其實這才是實數不同於其他數的性質），有一個數在所有這些套中間，也就不能對應到任何一個自然數。

分享一個我學集合論的時候我教授給出的證法。長期英語寫證明，中文不太好，歡迎提供翻譯。

首先，power set of N（所有自然數的子集）這個集是比自然數大的，不能找到一一對應，感興趣的可以用定義證明一下。

這個證明就是建立一個（0，1）到這個power set of N的一一對應

首先我們把每一個0到1之間的數都寫成二進位的，也就是x = 0.d1d2d3d4...，d_i=0或1

然後，對每一個x，我們都可以用以下方法找出一個集S：如果d1=1，那麼1就在S裡面，如果d1=0，那麼1就不在S裡面；如果d2=1，那麼2就在S裡面，如果d2=0，那麼2就不在S裡面，以此類推。

易證，這個函數（map）是一一對應的。

也就是說，（0，1）和這個power set of N是一樣大的，也就比自然數大。

無窮多分兩類:一類是可數(列)無窮多，例如N，Q，另一類是不可數(列)無窮多，例如R。N離散Q稠密R連續。集合論，實變函數這類大學本科數學專業的專業課會講這些。集合的勢或基數(power)不同。阿列夫0，阿列夫1。還有連續統。2的阿列夫0次方=阿列夫1。一一對應(雙射)意義上的等價(等勢)。積分，測度，概率論中也會有類似的應用，0測集。你弄懂阿列夫0，阿列夫1，就懂它們間的本質區別了。

一一對應是不可能的，因為自然數集是可數的，或者說可列出的，{1,2,3…};而0~1間的實數組成的集合是不可數的，簡單說就是不可列出的;你的第二個問題是錯誤的，因為兩個集合間不存在一一對應，問題無意義。

既然題主改了題目，那麼原文的前面就是廢話了.

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[首先明確一點，任何實數都可以用一個確定的無限小數表示]

實數有有理數和無理數兩部分組成，其中一切有理數均可以用分數形式 $frac{p}{q}$ 表示，也可以用有限十進小數或十進無限循環小數來表示；而無限十進不循環小數則稱無理數.有理數和無理數統稱實數.

實際上，有限小數也可以表示為無限小數.做如下規定：對於正有限小數（包括整數） $x$ ，當 $x=a_0.a_1a_2...a_n$ 時，其中 $0 le a_i le 9,i=1,2,...,n,a_n e0,a_0$ 為非負整數，

記 $x=a_0.a_1a_2...(a_n-1)999 9...$

而當 $x=a_0$ 為正整數時，則記

$x=(a_0-1).999 9...$

例如 $2.001$ 記作 $2.000 999 9...;$ 對於負有限小數（包括負整數） $y$ ,則先將 $-y$ 表示為無限小數，再將所得無限小數之前加負號，例如 $-8$ 記為 $-7.999 9... ;$ 規定 $0=0.000 0... .$ 任何實數都可以用一個確定的無限小數表示.