為什麼0到1間的實數無法與自然數建立一一對應關係?


這是用康托對角線法證明實數集和自然數集不等勢。

反設兩者等勢,那麼我們可以將0~1之間的小數像這樣列成一張表。

然後我們找一個小數,它的小數點後第一位和表中第一個小數的小數點後第一位不同,第二位和第二個的第二位不同……第N位和第N個小數的第N位不同……直至無窮,因此它不被包含在這張表中,矛盾。


問題的陳述不對。


任何實數都可以用小數表示。

但是任何用自然數編號的小數表,總有一個小數不在上面。


感覺題目被改過了,因為如果題主已經知道用 「和自然數建立一一映射」 這樣的語言了的話,是不大可能不知道對角線法的...

簡單的說,假如存在一個這樣的一一映射,不妨設為f,你就可以用這個f把0至1(不包含)的小數一個個編號列出來(每個小數x給它分配一個自然數f(x)作為編號)得到一個列表L(當然這個列表不會終止)。如果你列出來了,你就可以構造一個y,y的第i位和列表裡第i個小數的第i位不一樣,這樣構造出來的y和列表裡任何一項不等(因為至少有一位不一樣)所以y不在列表中,這就和之前的假設「f是一一映射」矛盾了……

當然我不知道以上有沒有回答題主的「如何找到一個無法與自然數一一映射的實數」這個問題,因為我(或者說對角線法)並沒有真的找到一個這樣的數,而是在假設存在一個一一映射f的前提下,找到了一個y……

我不知道我有沒有說清這兩個命題的區別……

題主要的是:

存在y,對任意f(f是小數到自然數的一一映射),f(y) = undefined

而我給的是:

若 存在f(f是小數到自然數的一一映射),則 存在y,f(y) = undefined

當然題主要的命題也沒錯啦,只是我隨便拿一個小數都可以搪塞題主啦,因為如果題主要反駁我,至少要給一個f出來啦,而這樣的f並不存在啦,所以前提根本不可能滿足,於是就是 undefined infers anything啦……


不是這麼說,任何實數都可以對應到自然數,但是取定一種對應法則以後,總是有剩下的。把0到1分成三個閉區間(交界共享),則存在一個區間不能和1對應,對這個區間,同樣三等分,有一個區間不和2對應,對該區間一樣處理,一直下去得到一個閉區間的套,那麼由0到1區間的完備性(其實這才是實數不同於其他數的性質),有一個數在所有這些套中間,也就不能對應到任何一個自然數。


分享一個我學集合論的時候我教授給出的證法。長期英語寫證明,中文不太好,歡迎提供翻譯。

首先,power set of N(所有自然數的子集)這個集是比自然數大的,不能找到一一對應,感興趣的可以用定義證明一下。

這個證明就是建立一個(0,1)到這個power set of N的一一對應

首先我們把每一個0到1之間的數都寫成二進位的,也就是x = 0.d1d2d3d4...,d_i=0或1

然後,對每一個x,我們都可以用以下方法找出一個集S:如果d1=1,那麼1就在S裡面,如果d1=0,那麼1就不在S裡面;如果d2=1,那麼2就在S裡面,如果d2=0,那麼2就不在S裡面,以此類推。

易證,這個函數(map)是一一對應的。

也就是說,(0,1)和這個power set of N是一樣大的,也就比自然數大。


無窮多分兩類:一類是可數(列)無窮多,例如N,Q,另一類是不可數(列)無窮多,例如R。N離散Q稠密R連續。集合論,實變函數這類大學本科數學專業的專業課會講這些。集合的勢或基數(power)不同。阿列夫0,阿列夫1。還有連續統。2的阿列夫0次方=阿列夫1。一一對應(雙射)意義上的等價(等勢)。積分,測度,概率論中也會有類似的應用,0測集。你弄懂阿列夫0,阿列夫1,就懂它們間的本質區別了。


一一對應是不可能的,因為自然數集是可數的,或者說可列出的,{1,2,3…};而0~1間的實數組成的集合是不可數的,簡單說就是不可列出的;你的第二個問題是錯誤的,因為兩個集合間不存在一一對應,問題無意義。


既然題主改了題目,那麼原文的前面就是廢話了.

————————更新線——————————


[首先明確一點,任何實數都可以用一個確定的無限小數表示]

實數有有理數和無理數兩部分組成,其中一切有理數均可以用分數形式 frac{p}{q} 表示,也可以用有限十進小數或十進無限循環小數來表示;而無限十進不循環小數則稱無理數.有理數和無理數統稱實數.

實際上,有限小數也可以表示為無限小數.做如下規定:對於正有限小數(包括整數) x ,當 x=a_0.a_1a_2...a_n 時,其中 0 le a_i le 9,i=1,2,...,n,a_n 
e0,a_0 為非負整數,

x=a_0.a_1a_2...(a_n-1)999 9...

而當 x=a_0 為正整數時,則記

x=(a_0-1).999 9...

例如 2.001 記作 2.000 999 9...; 對於負有限小數(包括負整數) y ,則先將 -y 表示為無限小數,再將所得無限小數之前加負號,例如 -8 記為 -7.999 9... ; 規定 0=0.000 0... . 任何實數都可以用一個確定的無限小數表示.

——————可以略過——————————————————————————————


至於題主給的圖片說的是 left(0,1
ight) 是一個不可數集合,即不能和自然數集合構成對等關係,證明方法可以採用經典的 Cantor 對角線法則.

首先 (0,1) 中的每一個實數 a 都可以唯一的表示為十進無窮小數:

a=0.a_1a_2a_3...=sumlimits_{n=1}^{infty}frac{a_n}{10^n}

的形式,其中 a_n0,1,2,...,9 中的數字,不全為 9 且不以 0 為循環節.

現用反證法:假設 (0,1) 全體實數可排列成一個序列

這樣就 和自然數集合一一對應了起來.

將每一個 a^{(n)} 表示為十進無限小數:

a^{(1)}=0.a_1^{(1)}a_2^{(1)}a_3^{(1)}...,a^{(2)}=0.a_1^{(2)}a_2^{(2)}a_3^{(2)}...,

…………

現在設法在 (0,1) 找到一個與所有這些實數都不同的實數.為此利用對角線上的數字 a_n^{(n)}(n=1,2,...) 做一個無限小數如下:

0.a_1a_2a_3..., 其中 若 a_n^{(n)}
e1 ,則 a_n=1 ;若 a_n^{(n)}=1a_n=2

則此小數顯然在 (0,1)中,但是又不屬於 B ,與假設矛盾.

(0,1) 不可數,即無法與自然數建立一一對應關係.


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