y=x^x 的图像大概是什么样的？

12-03

好奇其图像是什么形状的

对于 $x < 0$ 的情形需要借助迷の欧拉公式 $e^{i heta} = cos( heta) + isin( heta)$

按照这个公式我们显然可以得到 $e^{ipi} = cos(pi) + sin(pi)i=-1$ ，那么 $forall x in (-infty, 0)$ ，都有 $x = |x|e^{ipi}$ 成立，于是 $ln x = ln(|x|e^{ipi})=ln |x| + ipi$ .

基于以上推导，可以得到 $y = x^x = e^{xln x} = e^{x(ln |x| + ipi)} = e^{xln|x|}Big(cos(pi x)+isin(pi x)Big)$ ，所以对于 $x < 0$ 的情形，该函数取值为实数的测度为零（当且仅当 $x$ 为负整数时，函数取值为实数），也就是说其取值基本都是复数（虚部不为零），所以要对其函数特征进行可视化，需要再拓展一个虚部维度。

顺带提一下， @土豆泥答案中提及的 $(-0.16)^{-0.16} = 0.15 + 0.45i$ 并不准确，用我们上面推导的公式求得 $(-0.16)^{-0.16} = 1.1749 - 0.6459i$ ，个人猜测其答案中应该是 $x = -1.6$

最后简单画下函数的示意图，不过事先需要给出 $x = 0$ 的特殊情形，在该点处函数的极限为 $lim_{x ightarrow 0}x^x = 1$ （洛必达法则简单应用一下）。我们约定 $z$ 轴表示虚部，对应的3-D视图如下：

$o-xy$ 平面视图：

$o-xz$ 平面视图：

$o-yz$ 平面视图：

%% x = linspace(-4, 0, 1000); y = exp(x.*log(abs(x))).*(cos(pi*x)); z = exp(x.*log(abs(x))).*(sin(pi*x)); % imag dimension


plot3(x, y, z, "-b", "LineWidth", 3.0)

xlabel("$x$", "interpreter", "latex", "FontSize", 14)

ylabel("$y$", "interpreter", "latex", "FontSize", 14)

zlabel("$z$", "interpreter", "latex", "FontSize", 14)

title("Demonstration of function $y = x^x$", "interpreter", "latex", "FontSize", 15)

grid on

hold on

%% x_p = linspace(0, 1, 1000); % positive y_p = x_p.^x_p; z_p = zeros(size(x_p)); % imag dimension plot3(x_p, y_p, z_p, "-r", "LineWidth", 3.5) scatter3(0, 1, 0, "MarkerFaceColor", "m", "MarkerEdgeColor", "m", "SizeData", 50)

PS.顺带给出复数域上 $f(x) = x^x, xin mathbb{C}$ 的具体表达，不妨设 $x=a e^{i heta}$ ，其中 $ain [0, +infty), heta in [0, 2pi)$ ，则有
$f(x)=x^x=e^{aln{a}cos{ heta}-a hetasin{ heta}}ig(cos{eta}+isin{eta}ig)$ ，其中 $eta=aln{a}sin{ heta}+a hetacos{ heta}$ .

简单以两个3-D曲面图分别表示指定区域 $ain [0, 2], heta in [0, 2pi)$ 内 $f(x)=x^x$ 的实部和虚部变化，链接两个坐标系以便交互展示：

%% [a, theta] = meshgrid(linspace(1, 2, 50), linspace(0, 2*pi, 50)); rst = xx(a, theta); rst_real = real(rst); rst_imag = imag(rst);


ax1 = subplot(1, 2, 1);

surf(a, theta, rst_real)

xlabel("$a$", "interpreter", "latex")

ylabel("$	heta$", "interpreter", "latex")

zlabel("Real part", "FontName", "Arial", "FontSize", 11)
ax2 = subplot(1, 2, 2);

surf(a, theta, rst_imag)

xlabel("$a$", "interpreter", "latex")

ylabel("$	heta$", "interpreter", "latex")

zlabel("Imag part", "FontName", "Arial", "FontSize", 11)

hlink = linkprop([ax1 ax2], {"CameraPosition", "CameraUpVector", "PlotBoxAspectRatio"}); rotate3d on

经过 @yellow同学的指正，发现出现了比较严重的错误，现改正如下：
x&>0的时候，图像比较像陡峭的指数曲线
但是当x&<0时，比如：

当x=-1.6时，y值不可能出现在实数的二维坐标轴上，所以如果再引入一个复数y轴，y值就有可能出现在实数y轴与复数y轴组成的平面上，如下图：

图片来自PHANTOM GRAPHS
同时这个网站上有不少有趣的函数图形，我不是数学专业的，如果有对数学感兴趣的可以去浏览一下。

几何画板，建议使用。

班门弄斧。

另，如果只研究实数范围，可以用求导等办法手画出这个图像，这是高中生就能做的事情。

x^x=e^(xlnx)。。。。自行想象

题主是要上天吗？是的话，就捋着这条曲线上，保证飞快上天。

我是来逗比的,用gnuplot一画,感觉它整个程序都不好了

这个函数在复数域的性质大家都讨论过了，wiki也有，我就放函数图像好了。
取z=x + I y,x作x轴y作y轴，取f[z](=z^z)的适合形式作为函数图像的涂色方案，有：

换个角度。取x=a E^(I Arg[b])（也就是三角形式），Abs[x]作x轴，Arg[x]作y轴，取f[x](=x^x)的适合形式作为函数图像的涂色方案，有：

画成三维图的话，取y[z]=z^z,z=Re[x]+I Im[x]，以Re[x]作x轴，Im[x]作y轴，Abs[y]做z轴，取Arg[y]的适合形式作为函数图像的涂色方案，有：

换个角度。取x=a E^(I Arg[b])（也就是三角形式），Abs[x]作x轴，Arg[x]作y轴，Abs[y]作z轴取Arg[y]的适合形式作为函数图像的涂色方案，有：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3dx%5Ex

推荐软件desmos
不过这个只有x大于零啦

在地铁上为题主用desmos画了一个

用手机上的数学神器mathstudio画出来的，可能很粗糙。

x^x=0
……

一共12个答案，一个比一个复杂……诚意推荐个简单软件Mathlab Graphing Calculator PRO/EDU(us.mathlab.android.calc.edu)_4.4.108_Android应用（当然PC端还有Microsoft出品的Mathematics，都是属于简单易上手功能强大无需编程的一类数学软件），直接输入函数1秒钟得到图形如下：

用excel随便做个表格都可以大致想象出来大概是个什么样子啊：

我的数学不是很好，请专家解释一下为什么x&<0的时候是断点，是否就是说，-1.1的-1.1次幂是无意义的（excel也确实返回“#NUM!”结果）？

抖下机灵好了，明明就是一根直线啊……