11個人坐一圓桌兒，每次每人左右邊兩人都不同，問有幾種坐法？

12-03

11人坐圓桌吃飯，每次每人左右的人都不一樣，這樣一共能吃幾次？左右順序不重要，其實就是【每次都能新認識左右兩人】，這個意思！(順帶能不能有方法，比如公式，將結果推廣到人數更多的情況呢？)

題主要求的實際上是完全圖 $K_n$ 中最多有多少個邊不交的 Hamilton 圈。

答案是 $Biglfloor frac{n-1}{2} Big floor$ ，也就是說，對每個 $n$ 都能取到「最好」的結果。構造如下：

奇數：

以 n=11 為例，左圖是一個 Hamilton 圈，將它旋轉得到 5 個邊不交的 Hamilton 圈。偶數：

類似地構造，以 n=10 為例，得到 4 個邊不交的 Hamilton 圈。

寫個通俗點的，適用於奇數情況。首先對任意一個人，每次認識兩個新朋友，最多(n-1)/2次，那就來構造一個滿足條件的解就好。奇數情況下我們這麼構造：上一次吃飯的順序依次編號為1到n，下一次則先坐奇數，再坐偶數，比如11就是1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10，不難發現每個人剛好認識了之前隔一個人的人。這個置換可以分解成循環(1)(2 7 4 8 10 11 6 9 5 3)，可以看到剛好10次變換之後回到最初，這期間1認識的每次都不同，根據對稱性，其他人也是每次都不同，所以最多(n-1)/2次

10/2=5

本人並非數學專業，對abccsss的答案表示看不懂（勿笑^_^）
首先根據題意吃一次飯能認識2個人，除了自己一共可以認識10個人，很顯然這飯一共能吃5次（如果總人數是偶數，顯然不能做到每次都能認識2個人）
但我想題主想問的應該是這五次飯有多少種安排或者是想問吃一次這樣的飯有多少種安排座位的方法
先對後者討論，不妨假設11個人編號是A到K
因為是圓桌，具有對稱性，所以A坐哪個位置都是一樣的，A的兩側應該是剩餘10個人任選2個（不妨設為是B和C），其餘8個構成全排列即可，
應該為C（2，10）*A（8，8）種方法
對於前者，上述的應該作為第一次吃飯的安排方法數，討論第二次安排的時候A的兩側很簡單是8個人任選2個（不妨設為是D和E），但再往兩側就不是簡單的全排列了，因為需要考慮D的另一側安排時是需要考慮第一次安排時B和C是否已經和D認識了，需要討論，後面的類似，等第三次的時候顯然好複雜～（想了一會就放棄這種思路了）；還是希望有大神能有更好的思路～

數學渣渣一枚，姑且一試，答案和abccsss基本一致。
解法不知對錯。
下面給出我的解法及其分析：
首先，分析一下問題給出的要求。
每次每人左右的人都不一樣，也就是說每種坐法里任意相鄰兩個人的組合都與其他坐法不同。
那麼接下來我們考慮一下n個人中選兩個人一共有多少種不同的組合。很顯然是n(n-1)種。
由於題目的限制還要剔除順序顛倒的組合，所以最終只有n(n-1)種兩人組合滿足要求。
那麼每種坐法需要幾個兩人組合對呢？
嗯，n個。
現在答案已經很明顯了，把滿足條件的兩人組合除以每種坐法所需的兩人組合個數即可，也就是n(n-1)/2*(1/n),即(n-1)/2,如果不能整除則向下取整。