為什麼直徑為一萬億單位的圓和卡特蘭數有關係？

12-03

以C為中心作圓，直徑為1,000,000,000,000. 在圓上任取點A，連結CA。在CA上垂直作長度為1的線段與圓交於B，即BD。求AD長度，即為1000000000000 - sqrt(500000000000^2 - 1), 而這個數竟然包含著整個卡特蘭數序列！0.0000100001000002000005000000140000000420000000132...... 如何解釋？

目測是由於泰勒展開後級數的係數恰好等於卡特蘭數的表達式…占坑
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回來填坑

實際上題主想要求的是這個：
$r-sqrt{r^2-1}=r(1-sqrt{1-r^{-2}})$
來研究一下 $1-sqrt{1-r^{-2}}$ 這個式子的性質，令
$f(x)=1-sqrt{1-x}$
在x=0處作Taylor展開
$f(x)=Sigma_{n ge 0}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
而
$f^{(n)}(0)=frac{1cdot 1cdot 3cdot 5...cdot (2n-3)}{2cdot 2cdot 2cdot 2...cdot 2}=frac{(2n-3)!!}{2^n}=frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} (n-1)!} (n ge 1)$

所以代入 $x=r^{-2}$ 得
$r-sqrt{r^2-1}=r(1-sqrt{1-r^{-2}})=r(0+Sigma_{n ge 1}frac{f^{(n)}(0)}{n!}r^{-2n})$
$=r(Sigma_{n ge 1}frac{(2n-2)!}{(n-1)!n!}2^{1-2n}r^{-2n})=2r(Sigma_{n ge 1}frac{C_{2n-2}^{n-1}}{n}(2r)^{-2n})$
而 $frac{C_{2n-2}^{n-1}}{n}$ 就是第n-1個卡特蘭數
好了題主，現在我們取r=5*10^(n-1)，2r就是10^n，那麼上式就說明這個小數應該是每隔2n位都表示一個卡特蘭數，直到某個卡特蘭數的位數超過2n為止。
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圖是這樣的：

Catalan number的生成函數為 $c(x)=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x}$ . $c(x)$ 是Catalan number的生成函數的意思是指 $c(x)$ 泰勒展開後的係數為Catalan number.

http://www.wikiwand.com/en/Catalan_number