如何通俗地解釋數學的三大哲學基礎流派：邏輯主義、形式主義、直覺主義？

12-03

曾經寫過一段文字，本意用於構建"理性的三觀"，也能很好地解釋這三大主義。相比邏輯主義和形式主義，直覺主義更加神秘，難以理解，但繼承的是傳統西方哲學精神。

數學中的三大主義

放眼望去，這個世界滿是不幸的人。他們想像自己能夠擁有財產…… 同時滋生一種對知識、權力、健康、榮耀和愉悅的不知饜足的慾望。

只有那些認識到自己一無所有、無法擁有任何東西、安全是不可企及的人，那些完全隱退、犧牲一切的人。那些不知道任何東西、不渴望任何東西也不想知道任何東西的人。那些放棄一切和看輕一切的人，才能得到一切：自由的世界向他開啟了。這是一個沒有痛苦的沉思的世界 —— 一個一無所有的世界。

以上是直覺主義大師布勞威爾在他25歲時寫的一本小書《生活、藝術和神秘主義》中的結尾。

直覺主義者通過喚醒人們內心所確認的約束意識來尋求數學真理。維基百科對直覺主義的定義如下：

In the philosophy of mathematics, intuitionism, or neointuitionism (opposed to preintuitionism), is an approach where mathematics is considered to be purely the result of the constructive mental activity of humans rather than the discovery of fundamental principles claimed to exist in an objective reality. That is, logic and mathematics are not considered analytic activities wherein deep properties of objective reality are revealed and applied but are instead considered the application of internally consistent methods used to realize more complex mental constructs, regardless of their possible independent existence in an objective reality.

在數學哲學中，直覺主義認為數學應當通過純粹的人類心智上構造活動而獲得，而不是依靠發現聲稱客觀存在的基本原則。因此，邏輯和數學不應當被視為揭示和分析客觀實在的活動，而是實現構造複雜心智對象內在的一致的方法。直覺主義認為直覺先於任何邏輯、規則，或者原理。後者不過是一種檢驗直覺合理性的工具，本身不具備發現任何真理的價值。

直覺主義的先驅帕斯卡有名言：

「心有其理，非理之所能知。」
「推理是那些不明真理的人用以發現真理的遲鈍、愚笨的方法。」
「孱弱無能的理智啊，你該有自知之明。」

直覺主義認為人固有地能洞察世界的真相，這種「能」被固化到人的心智裡面，稱為直覺。就像中國古代的「天人」觀念一樣，不過需要反著理解：任何合於人的直覺，都合於天之大道。這是道法於人，而不是人法道。也像是「造物主」將它自己的「基因」傳遞給了人（或者其他的物種），該物種通過這些基因最終能構造出造物主的世界。

世界的真相被刻在人的心智之中。

而邏輯主義的觀念顯得更明了，它相信一切事物的基礎是邏輯推理和不言自明的少數公里；形式主義則強調符號和推導規則的萬能，一切事物都在它這套體系之中。形式主義強調不需要「智慧」的「意義」的介入，對過程和結果的解釋與過程和結果是獨立的，他們希望的自動完成和自我完備，並且沒有自我矛盾。相反，邏輯主義並不看中完備，它強調的是沒有任何矛盾或者悖論。

合於邏輯，或者說令人滿足的期望總是他們追求的目標，對冰冷而且簡單的邏輯問題非常適合，對複雜的問題或者非理性的問題無能為力；形式主義不太理會這點，他們執著於精緻的符號規則以及永無止境的完備，這對於良好定義的問題能夠最高效地解決，對其他的問題顯得非常笨拙和低效；直覺主義與他們相去很多，簡言之，比起「更正確」的邏輯和精確的形式，他們更看中內在感覺，他們走在對未知探索的前頭。

這個塗紀亮在其《英美分析哲學》一書中有比較，直覺主義不單純如樓上所說那樣，直覺主義，以及後來發展的數學構造主義一脈相承，它講求潛無窮，反對實無窮。追求數學構造性證明，反對存在性證明（排中率）。它是對古典數學的反叛，更追求數學的實際應有。

本人作業論文，轉載著名出處，授權聯繫簡訊13861435167

從心理主義到直覺主義

摘要：弗雷格的邏輯主義帶來邏輯學學科的獨立，本文通過分析以范丙申為代表的現代邏輯學家，展示心理主義的旗幟下邏輯學發展開拓視野中的後心理主義。後心理主義是對傳統心理主義主義的揚棄與深化回歸，動態研究興起，直覺主義邏輯體系的建立是這種回歸的直接體現。

關鍵詞：直覺主義後心理主義邏輯主義

在當下，邏輯學正經歷一場「後心理主義」的洗禮，早先由弗雷格提出的邏輯主義拒斥心理因素對於邏輯學的「干擾」的歷史漸漸退出舞台，取而代之的是認知科學學科群的迅速發展促進了心理主義的回歸。所謂「後心理主義」是由荷蘭阿姆斯特丹大學的教授范丙申(Johan van Benthem)提出的一個概念，意指當下認知轉向背景下邏輯學對於動態觀念研究興起，更加註重事實，與事實更加接近，甚至嘗試描述推理的準確心理過程與人工智慧發展，與心理學形成學科良好交叉的一種學科發展趨勢。而這其中，直覺主義邏輯觀被認為是心理主義回歸的典型表現。

一．邏輯主義與心理主義之爭

弗雷格在《算術基礎》的序言中寫道：「始終要把心理的東西和邏輯的東西、主觀的東西和客觀的東西嚴格區別開來。」他認為語言的涵義就是命題的涵義，語言所交流表達的東西是客觀的，認為心理這種主觀、虛無的東西和邏輯無關，認為邏輯不追究主體實際怎麼思考，而追究客觀的命題關係與思維秩序。在此基礎之上，弗雷格建立了數理邏輯的基礎——形式化系統，同時弗雷格堅信數學是建立在邏輯基礎之上的，所有數學知識可以公理化，並孜孜尋求一套公理系統可以囊括所有已知數學公式，他堅信數學可以化歸為邏輯，所以被稱為邏輯主義。其後胡塞爾也表示支持邏輯主義，反對心理主義，因為心理學是主觀經驗科學，而邏輯學是客觀規律科學，心理主義導致邏輯學的相對主義與懷疑論，同時宣言要建立一門「純粹邏輯學」，「作為一門自然劃界的，自身封閉的科學」、「具有獨立於所有心理學的所在」。

那麼心理主義主義到底是什麼呢，它有什麼主張呢？

密爾是英國的實證主義哲學家和近代歸納邏輯的奠基者，他在《漢密爾頓哲學考察》中寫下：「邏輯學不是關於思想本身的理論，而是關於有效思想的理論；不是關於思維的理論，而是關於正確思維的理論。它並非一門不同於心理學，而又與之並列的科學。就其是一門科學而言，它乃是心理學的一個部分或一個分支；它不同於心理學，一方面看，是部分不同於整體；另一方面看，是一項技藝不同於一門科學。它的理論基礎整個是從心理學那裡借用過來的。而這些理論基礎所包括的恰好就是這門科學中用來為這項技藝的規則做辯護的那麼多東西。」密爾在這段話中直接透露了他的實證主義經驗主義立場，同時將邏輯學看成心理學的分支學科甚至是一部分，這著實惹怒了很多邏輯學家，因為這相當於取消了邏輯學的獨立學科地位，同時他也表達了邏輯學的基礎就是心理學這一十分有爭議的觀點。

在學界，心理主義也有強心理主義和弱心理主義之分。強心理主義如同前文的密爾，將邏輯學視為心理學的應用科學，同時認為邏輯學的規律只是來源於對心理規律的概括總結，例如密爾認為矛盾律不過是來自經驗的概括，持有這種強心理主義觀點的哲學家還有弗里斯、布倫塔諾、馮特、邁儂等。鑒於強心理主義太富爭議，皮爾斯提出弱心理主義，認為邏輯學在源頭上緣由心理，但在其後發展中成為一門規範推理與正確思維的學科，演化為不是關心事實是怎樣而是應該怎樣的學科。弱心理主義的提出淡化了心理主義的片面性，承認邏輯學的學科獨立性，為其後心理主義與邏輯學的和解留下轉圜餘地。

二．范丙申對心理主義的全新解讀

在范丙申(Johan van Benthem)教授的《邏輯與推理——事實重要嗎》一文中，范丙申論述了後心理主義的思想路徑，他大聲宣布「邏輯不是實驗心理學也不是理論心理學，但如果邏輯與事實推理相分離，就任何目的來說都是徹底無用的」。范丙申教授是當代著名的支持心理主義與動態邏輯的學者，之所以有此主張我猜測和部分邏輯學家的狹隘邏輯觀限制了邏輯學發展的現狀有關，他在《邏輯與推理——事實重要嗎》一文中也指出「很難想像像邏輯學這樣有防禦性的學科領域，這不是一個好現象。」邏輯學是研究有效推理與合理思維的，而一種對於純粹邏輯與應用邏輯之分的二分論，導致一些人將邏輯學的核心傳統邏輯視為一種固定或死的東西，而把其他的都籠統歸為應用邏輯。邏輯學的自我設限和對於形式邏輯的不流動性給邏輯學版圖擴張帶來很大的麻煩。同時，范丙申教授認為，在當代，邏輯的發展趨勢是研究信息更新，認知主體推理的多樣性，信念修正，預設推理以及主體間的互動與交融，但這種主張並不意味對傳統邏輯的背棄或是對數理邏輯的反對，相反教授也在文章中強調數理邏輯工具對於邏輯研究的基礎作用，但他反對將邏輯學視為「形式系統工具箱」的認識，從某種層面上來說這是在反對邏輯學的絕對工具論，這與張建軍教授對於層級分明的大邏輯觀有一定的相似。

傳統邏輯輕視邏輯主體在推理中的作用，邏輯主義認為邏輯不是關於事實是怎樣的而是關於應該是怎樣的，忽視記憶、經驗、信息更新、主體多樣性等因素對於推理的影響，可是即使是在純數學領域，對於證明，人們也不是運用規範在一塊白板上從無到有的建構，而是有經驗和記憶的搜尋、聯手。范丙申隨後強調了很多日常的邏輯行為伴隨著幾個主體間的邏輯互動，有問題的爭論辯駁與信息融合，而不是乾巴巴的「後承關係」的研究。

心理學也有許多著名的關於推理的實驗，例如沃森紙牌遊戲，在這種實驗中，我們可以清晰地看到主體並非按一種機械、單調的邏輯在進行推理，但人們也不否認邏輯公理的正確性與普適性。對於此范丙申解釋前者只是「實踐海洋中的幾座孤島」，而後者是「珊瑚礁」，研究反思性事實很重要，而太平洋上的星羅群島也因該是我們關注的對象。邏輯學應該理解這種動態的行為，而不是一種正確性的靜態護衛，因為一個思維的健康免疫系統才是保證人類理性可以糾正我們的信念計劃之歧途的唯一方法，雖然事實總是複雜的，邏輯推理模型總是有偏差的，但我們不該放棄這種努力。

三．直覺主義邏輯

與邏輯主義幾乎同一時間出現的，是布勞維爾的直覺主義。作為直覺主義的開創者，布勞維爾十分欣賞康德將數學看做「先天直觀」、「純粹直觀」的觀點，並認為邏輯不是數學的基礎，相反數學是邏輯的基礎。同時他認為數學的意義只在於能行的可構造性，一個不可構造的思想元素不是數學的研究對象，數學是一種對於個人的心靈與靈感對象的數字體現，數學的思想與直覺概念就存在於我們的心靈之中。他諷刺邏輯主義，認為邏輯主義實無窮的概念是導致羅素悖論的元兇，直覺主義只承認潛無窮，即認為無窮不是個整體或完成的狀態，而是一種潛在能力或不斷生成的狀態。根據潛無窮的觀點，你不可以把自然數集看成一個集合，而是把它看成不斷延伸，不斷自我生成且永無止境的數列。

基於此，直覺主義拒斥經典邏輯中的排中律，因為排中律假定了一種有窮的狀態，而在潛無窮基礎上，在動態變化基礎上的直覺主義，拒斥排中律的普適性，所以在直覺主義者看來，

不是邏輯真理，同樣

也是不成立的，因為直覺主義堅持構造的思想，認為證明的唯一途徑在於構造，同時因為拒斥排中律所以直覺主義不承認反證法。直覺主義對於其他邏輯連接詞的解釋都是構造性的。

對於量詞邏輯，直覺主義的解釋也十分新穎。

是指有一個可構造證明程序，在其中至少可以找到一個個體具有B性質。

指有一種一般構造程序在其下對於任一x,x都有B性質。

但顯然,

因為後者表示不存在這種一般構造程序在其下對於任意x都不具有B性質，但這並非說存在一個構造程序使有一個x具有B性質，這與經典邏輯是不同的。因為可構造性是直覺主義的核心，直覺主義的一切解釋都建立在這個核心之上，因此直覺邏輯不同於經典邏輯，

這些連接詞之間不可相互定義。直覺主義邏輯較經典邏輯更為嚴苛，有些經典邏輯的定理並非直覺邏輯的定理所以直覺主義邏輯是經典邏輯的一個真子集。

在此基礎上，直覺主義者們又提出了不少直覺主義系統，例如ranassov直覺模糊邏輯系統。

對於直覺主義的評價不一而足，批評者大多詬病其對於「構造」概念的模糊解釋和對於排中律、反證法等日常直觀拒斥所帶來的應用狹窄。但是我們也要看到，如范丙申所宣言，直覺主義是一種心理主義的典型回歸，它拒斥在靜態的刻板的層面上去研究數學與邏輯，將邏輯看做自由而充滿生機的，充滿人類氣息的學科，熱情讚揚直覺與創造在邏輯學科的正當性，洗刷了邏輯主義過於形而上的邏輯刻板映像，是一種人文主義的回歸。

誠然，邏輯直覺主義有很多的缺陷，如過於誇大直覺在研究中的作用顯得邏輯只是天才們閉門造車的產物，這是不對的，脫離現實與實踐的邏輯學是無法遠行的。弗雷格構造的經典謂詞演算與命題演算，羅素對悖論的研究，是邏輯學史上不滅的輝煌。

四．結語

在當代這個認知學科群建構的大背景下，邏輯學與心理學重歸於好。邏輯學家一直擔心心理學的入侵會取消邏輯學學科的獨立性，但歷史證明這只是一種杞人憂天，這兩個學科有自己獨立的研究領域與研究方式，但人工智慧對於人類技術所提出的挑戰，不是光靠某一學科的努力或是輝煌可以解決的，科學的趨勢必然是打破學科壁壘，融匯大科學，形成人類知識的有序與網構。而如邏輯學家范丙申所宣稱的那樣，直覺主義的回歸是心理主義復甦的利好徵兆，我們期待邏輯學與心理學燦爛的未來。

參考文獻

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[5] 《反心理主義的勝利與潰退》，李琦，《畢節學院學報》，2010年第12期

[6] 《邏輯哲學》，陳波，北京大學出版社，2005年8月第1版

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