兩個預言家，一個準確率90%，一個準確率30%，他們都預言了末日降臨，那麼末日降臨的概率是多少呢？

12-03

現實中同類問題 http://www.zhihu.com/question/60803333?utm_source=qqutm_medium=social

反對給出固定概率的答案，這個題目給出的信息不完全，因此無法計算世界末日的概率。

首先要正確理解準確率的概念。

準確率accuracy是P（預測末日，末日）+P(預測非末日,非末日），即在末日時候猜對末日，和非末日的時候猜對非末日兩個部分。而大多數答案卻理解成了陽性預測值：P（末日|預測末日）或者靈敏度P（預測末日|末日）。

圖中a+d/a+b+c+d是每一個預言家預測的準確率，可見，如果我們只有準確率，那麼a和d有無窮多種組合的可能，其具體的比例是無法得到了。

本題中要計算的概率為，當兩個預言家預測都為末日時，末日發生的條件概率，即P（末日|預測末日1，預測末日2）.

從邏輯上來看

預言家的預測是基於末日的原因，是比較複合邏輯的，可以看到，兩個預言家的預測是條件獨立於末日原因，但邊際不獨立。如果末日的原因決定了末日是否發生，那麼預言家的預測也會條件獨立於末日。

假設末日為E，預測分別為P1和P2。

其中分子和分母的部分可以繼續利用上面的條件獨立假設分解。

因此，我們要麼需要

這五個獨立的參數，或者知道P1和P2聯合分布才能計算。這五個參數分別代表：

1. 末日發生的先驗概率

2. 末日發生情況下，預言家1的正確率。（預言家1的靈敏度）

3.末日不發生情況下，預言家1的錯誤率。（預言家1的特異度）

4.末日發生情況下，預言家2的正確率。（預言家2的靈敏度）

5. 末日不發生情況下，預言家2的錯誤率。（預言家2的特異度）

從題干中，我們只有兩個方程，解不出五個參數。

末日發生的後驗概率其實可以這樣理解：

要麼預言家同時猜中末日，要麼預言家同時猜錯了末日，而末日發生的後驗概率就是預言家猜中末日的概率佔兩種情況的比例。

這裡有兩個容易出錯的坑：

1. 需要考慮末日的先驗概率，類似於權重。直覺上理解：如果末日先驗概率很大或很小，我們對末日的後驗概率主要來自於先驗概率的信息，而如果末日的先驗概率接近0.5，我們則主要從預言家的Performance獲取信息。

舉兩個極端的例子

如果歷史末日從未發生過，a+c=0，那麼預言家的準確率統計都來自非末日預測b+d（共預測過100次，其中預言家1預測了10次末日,預言家2預測了70次末日）,這時候預言家之間的公式無法提供末日是否會發生的信息。
生活中的例子：如果垃圾郵件的比例是0.00001。現在有兩個「垃圾」分類器，分別完全地隨機地把10%和70%的郵件標記為垃圾郵件，那麼這兩個分類器的準確率分別是90%和30%。然而這兩個分類器本身就是隨機標記，它們達成共識並不能提供任何郵件是否屬於垃圾郵件的信息。

2. 每個預言家在末日情況下的正確率（靈敏度）不等於在非末日情況下的正確率（特異度）。也就是這裡的P(P1|E) 不等於 1 - P(P1|Not E)， @Bayes 。如果做金融或者機器學習的讀者應該會有印象，一個預測模型在正樣本和負樣本中的分類能力往往並不相同。而醫學情景中，如果一個生物標記物的靈敏度越高，則其特異度越低，是一對此消彼長的指標。

總結一下概率可以計算所必須的假設：

先驗概率已知
預言家1和2的預測靈敏度以及特異度已知
預言家的預言基於世界末日的原因，並且世界末日的發生不受其他因素的影響。

最後，這個問題是不是和腫瘤患病或者上帝開槍的問題等價呢？

不等價，在腫瘤的問題中，腫瘤和診斷試驗的關係是因果關係，即腫瘤導致診斷試驗陽性，而本題需要進一步假設，與才可以與之等價。上帝開槍問題中，兩個上帝是世界末日的因，和這個腫瘤的問題剛好相反，類比於兩個疾病的獨立危險因素來預測疾病的問題。

答案是不知道。感覺概率會很小，這是一個貝葉斯概率問題。

兩個上帝，第一個朝地球開了一槍，命中率是90%，第二個朝地球也開了一槍，命中率是30%，那麼地球難逃一劫的可能性明顯是93%。

但這是兩個預言家，換而言之，末日的發生和他們的行為沒有關係，是一個先驗的行為。

假定末日常規發生概率是p

那麼兩個預言家預言末日發生且末日真的發生的概率=末日發生且兩個預言家正確／（末日發生且兩個預言家正確+末日不發生且兩個預言家錯誤）=p*0.9*0.3/(p*0.9*0.3+(1-p)*0.1*0.7)

p無法消除，故無法得到確切的概率。這個概率和p有關，可以看出在p很小的情況下，即使兩個預言家的準確率是0.99，真正末日的概率也很小。

對於預言準確率是90%，可以想像一下這樣一個場景：一萬個盒子被編號成0-10000，其中一個盒子裝有寶藏。如果你知道了寶藏裝在標號是0-1000的盒子里，顯然你的準確率達到了90%，但你開寶箱找到寶藏的概率明顯不是90%。

PS：準確率90%是10次末日說對了9次，或者說這個末日預測正確的可能性是90%。但這次預測末日發生，末日真會發生的概率叫預測值。這個和準確率有關，但也和末日事實發生的概率有關。具體可以參見流行病學中「敏感度，特異度」和「陽性／陰性預測值「的意義。

再PS：對於「預言」來說，知道準確率是不夠的。這裡的計算是講準確率強行理解為敏感度和特異度均為0.9或0.3。具體的概念可以參見流行病學的相關內容。

這是一個會讓纏教徒發狂的問題。

纏論中關於概率的計算是正確還是錯誤？ - 知乎

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這道題關鍵在這個90%準確率的定義。是指末日100次，預言家90次都說准了呢，還是預言了100次出現了90次末日呢？這個差別會對計算產生極大的影響。

對於前一種情況，試想一個極端的情況。股市大臭嘴葉榮天每天早上發微博說股災來了，那麼按照第一種定義，他的準確度是100%，因為每次股災都被他說中。但是他的預測沒有任何價值。此時由於缺乏末日的先驗概率無法計算。參考 @yinan li 答案。

如果是後一種定義的話，答案參考 @南博萬的回答就可以了。

無法確定。

詳見：一道困惑很久的概率問題，這道題是有解還是本身題目就有問題？ - 知乎

鑒於此題下回答已經很多了，我就不重定向問題了。

末日降臨的概率為一個未知定值，無論誰來預言都不能改變它本身。
預言家的預言準確率只是既往預言與所發生事實的契合程度，本質上是不能改變某件事的發生概率的。相反，預言準確率是被事件的發生概率所影響的。如果從預言準確率去反推某件事的發生率，就犯了倒果為因的謬誤。

舉例說明如下：
A預言家王大壯，連續9天預言明天不是世界末日，正確，第10天預言明天是世界末日，不正確，預言準確率90％。
B預言家李鐵蛋，連續3天預言下雨，正確，又連續7天預言下雨，碰上一周大晴天，不正確，預言準確率30％。
現王大壯和李鐵蛋共同預言明天是世界末日，求明天是世界末日的概率。
解題思路：明天是世界末日的概率還是原先那個未知定值，兩位預言家的預言行為沒有對它產生任何影響。
答：設明天是世界末日的概率為X，依題意知，兩位預言家的預言行為不會導致X變化，故明天是世界末日的概率為X。

為什麼我會在腦洞話題下看到這種問題……排名第一的答案已經說的很清楚了，我補充一下，盡量給沒有學過概率論的同學解釋一下為什麼得不出來這個概率：

用貝葉斯定理來解釋就是，雖然預言家的預測很准，但是考慮到世界末日本身發生的概率非常小，因此即便預言家作出了預言，實際上末日到來的概率也依舊非常的低。

換句話來說，因為本身末日不會發生這件事的概率非常的大，那麼它對於一個預言家預言的準確性的貢獻也就非常大。也就是說，你只要把不會發生末日給預測准了，那麼總體的準確率就會非常高。

舉個好理解的例子就是，假設末日發生的概率是1%，而一個預言家在任何情況下都預言不會發生末日，那麼他的準確率依舊高達99%，然而你無法從他的預言中得到任何有效信息。

更進一步的話，考慮以下兩個事件：

A. 末日即將（不）來臨；

B. 預言末日（不）來臨。

預言的準確性指的是在 A 發生的情況下 B 的概率 P(B|A)，也就是末日即將來臨的情況下，能預言出末日要來臨的概率，其為90%或30%。

而我們所關心的，是在 B 發生的情況下 A 的概率 P(A|B)，也就是在預言出末日要來的情況下，末日真的要來的概率。這兩者相關但並不相等，由貝葉斯公式 P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B) 求得。由於缺少末日來臨本身的概率 P(A)，無法得出。

無圖無真相

無疑應該用貝葉斯

理論計算高票答案 @yinan li 已經說得很清楚了應該是p*0.9*0.3/(p*0.9*0.3+(1-p)*0.1*0.7)

@又見的回答中其實是默認了末日和非末日概率相等都是50%，這明顯是不合理的

為了避免仍然無法理解，下面直接用Mathematica模擬一下

p是世界末日概率，p1 p2分別是預言家準確率，實驗n次，輸出最左邊一排是p，中間實驗值右邊理論值

可以看出p=0.5時正是 @又見所算出的0.794

補充：

看到很多人問，為什麼在增加一個預言家後末日降臨概率會降低，加入無數菜鳥預言家是不是就能避免末日發生？

可以在這裡解釋一下，實際上這個預言家並不是所謂「菜鳥」，30%正確率我們只需要把他預言的結果取反也能得到一個較為準確的預言，只不過他是一個自帶預言錯誤屬性的預言家。

真正的菜鳥預言家應該是完全瞎猜，正確率50%

理論計算就是p*p1*0.5/(p*p1*0.5+(1-p)*(1-p1)*(1-0.5))=p*p1/(p*p1+(1-p)*(1-p1))

可以看出菜鳥預言家對結果的影響被消去了(因為1-0.5=0.5)

所以加入菜鳥預言家不會影響概率

pps:看到有回答提到不同的準確率定義會影響結果，也在這裡說一下

這裡實驗中準確率定義是

預測與實際相符/所有

也就是p1=T/P+N=TP+TN/TP+TN+FP+FN

但是注意到按照事件發生頻率有P:N=TP:TN=p:(1-p)

所以可以解得TP/P=TN/N=p1

(大寫P是指positive 小寫p是指末日發生概率 p1預測準確率)

因此與高票答案中按準確率為TP/P用貝葉斯計算結果相同，即兩種準確率定義計算結果相同 @大象

79%

一道很有意思的數學題，93%的錯誤在於，兩個預言家的預測是非獨立事件，要麼兩個預言家一起對了，要麼一起錯了。

需要計算的是一個條件概率，即兩個預言家結果一致時，兩個預言家的正確的概率。

兩個預言家結果一致的概率為：
90%*30%+(1-90%)*(1-30%)=34%
其中，27%的概率為兩個預言家同時正確，7%的概率為兩個預言家同時錯誤

因此，末日降臨的概率為27%/34%=79%

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回復一下評論區提出的問題：
1、增加多個菜鳥預言家是不是概率就無限下降了？
增加菜鳥預言家(正確率小於50%)的時候並不知道他們會多數預言發生還是多數預言不發生，因此概率上升還是下降未必;
那麼，假如新增的菜鳥預言家多數預言發生，那大概率專家預言家的本次預測剛好落到了10%的錯誤預測里；
相反，假如新增的菜鳥預言家多數預言不發生，那大概率專家預言家本次預言是正確的。

2、末日是否發生本身和預言家是無關的，增加預言家會改變概率，是否本身就說明這個邏輯出錯了？

概率本身是基於多次重複實驗的，在單次實驗中，概率只是在結果出來之前，一個猜測期望的正確率而已，在結果出來之後，單次實驗中的正確與錯誤只有100%和0%

那我們計算的概率是什麼？
我們計算的概率是基於已有信息，對結果的一個評估。
顯然信息量的增加，會帶來對結果相對更為準確的估計，這是毫無問題的。

打個比方，高考考試結束，結束的那一瞬間每道題的對錯就已經在那裡。
但在公布答案之前，對答案與不對答案相比，對自己每道題對錯的估計準確度是提高的；
而與多人對答案相比於與一人對，對正確與否的估計又可以進一步提高，在這個過程中，由於信息量的不斷增加，預估正確的概率也是在不斷變化的。

3、是否考慮本身會發生末日的概率？
不考慮，我們只能以已知的信息來推測，推測結果是在這個信息下發生的概率，新增信息意味著環境變數發生變化，自然概率也是發生變化的，那就不是本題了。
本題中未知發生末日事件本身的概率，79%的含義是，在未知先驗概率的情況下概率為79%，反之，若已知先驗概率則不需要推測。

醫學生，沒學過數學
方法A，診斷某一疾病的正確率90%
方法B，診斷某一疾病的正確率為30%
AB都對 27% AB都錯 7%
A對B錯 63% A錯B對3%
現在AB一致真實發生的概率為27/（27+7）=79.4%
我覺得末日這個外衣還是很誤導人的
開個小腦洞
方法B正確率為30%，我是不是可以認為其正確率為70%，因為任何一種方法的正確率都可以認為不低於50%
如果這麼開腦洞就是63/66=95.5% （滑稽臉）

歡迎討論，不喜輕噴

顯然是無法計算。

我爸猜對我吃不吃早飯的概率為30%，
我媽猜對我吃不吃早飯的概率為90%，
他們都猜我明天吃早飯。
求他們同時預言我吃早飯且我明天吃早飯的概率。

（或者替換為上帝指定了兩個準確率分別為0.9和0.3的預言機器來預言我吃早飯的情況）

——————小xio生解法來了——————

前提：預言的準確率是不變的，也就是說，我爸媽的準確率不會因為預言的增加或減少變動。預言的準確率指的是預言成功的概率，而非對過去預言的總結。

(準確預言包含預言我吃早飯和預言我不吃早飯兩種情況)

我吃早飯的概率x

我爸預言我吃飯的概率y

我媽預言我吃飯的概率z

那麼我們可以得出兩個式子：

x*y+(1-x)*(1-y)=0.3

x*z+(1-x)*(1-z)=0.9

我們根據以上兩個公式可以畫出如下圖像：

需要同時滿足 0≤x，y，z≤1，可以得出：

x∈[0,0.1] ∪ [0.9,1]

y∈[0.7,0.75] ∪ [0.25,0.3]

z∈[0.1,0] ∪ [1,0.9]

他們同時預言我明天吃早飯的概率(x-0.1)/(2*x-1)*(x-0.7)/(2*x-1)

這個概率的區間在 [0.07,0]∪ [0.25,0.27]

他們同時預言我明天吃早飯，並且我確實吃早飯的概率是多少呢……

[0,0.002]∪[0.225,0.27]

得出結論他們同時預言我吃早飯而且我確實吃早飯的概率是要麼低於0.2%，要麼在22.5%到27%之間，取決於我吃早飯的概率高低。

而題目要求的也是我吃早飯的概率。。

我也是瞎糊的。

「他們同時預言我不吃早飯且我確實不吃早飯……」和「他們作出不同預言……」等情況的概率，大家就自己算吧。

看到一堆人說因為末日不可能發生，所以概率是0的言論我也是醉了。

既然末日不可能發生，那麼預言家只要一直說不發生末日，那麼他的預言準確率就是100%，這是屁股決定腦袋啊，從結論逆推概率顯然是不對的。

末日可以是指世界毀滅，也可以是指明天下雨。

以上是個人見解，完。

說93%的都應該回去復讀。

90%正確率的是大牛預言家，單獨看他的預言世界末日那的確是90%；

30%正確率的預言家可以視為70%錯誤率的（反向）預言家，同時也給出了相同的預言，相當於一個70%正確率的對世界末日的否定預言；

一個極強肯定預言（90%概率末日）和一個強否定預言（70%概率不末日）的綜合結果怎麼會成為比極強還強的肯定（90%概率以上末日）？

像已經有人回答的那樣，這個問題問的是已知兩人預測相同，那麼同對的概率是多少，那概率當然是P同對/(P同對+P同錯）

準備1000塊石頭，標記編號0～999。
現在開始實驗：
「我預言，向上拋0號石頭，會落地。」
拋0號石頭，0號石頭落地了。
「我預言，向上拋1號石頭，會落地。」
拋1號石頭，1號石頭落地了。
…
「我預言，向上拋999號石頭，會落地。」
拋999號石頭，999號石頭落地了。

「總結，預言次數1000次，成功率100%。」
「我預言，地球會在8分鐘內毀…」

「本台報道，恐怖分子欲毀滅地球，現已被警方抓獲。」

得看對面能不能沉默或解掉末日

我覺得問題關鍵是末日是否發生是否與預言家的預言有關吧。
如果把事物(即「末日」)作為主體，它就是一個客觀存在的真理，不隨其他任何人的意志改變而變化，就像猜硬幣的正反一樣，即使預言家預言的概率是99.999%，那麼最終的結果還是正反對半分。
如果把人(即「預言家」)作為主體，那麼題目的意思就變為預言家的預測會對末日的發生與否產生影響，這時候他們就不再是相互獨立的事件了。以我們生活中的常識來看，這種情況屬於第一種類型，事實上，生活中也根本不存在這種預言概率一定的預言家，因為我們生活在有客觀真理存在的世界，有些事件在數學上的概率就是一定的，不會隨主觀意志改變，如果真出現那種百發百中的預言家，早就能把自然科學的一堆理論顛覆了。所以我的答案是，這個概率不知道。
多說一句，什麼情況下是第二種類型呢？假如有兩個槍手，一個命中目標的概率是80%，一個是30%，求他們同時發射之後目標被命中的概率。這種情況下概率顯然是可算的，槍手射中目標的概率也客觀存在，因為這個概率是受槍手的射擊水平因素影響的，當然實際情況下肯定會受到環境，心態等客觀條件的影響，但在理論計算上是成立的。
本人才大一，雖然是學統計的但是專業課還沒學過，只是大概談一下自己的看法…有什麼錯輕噴啊

一個印第安酋長，每次都是聽廣播里的天氣預報，然後向族人預言天氣變化，每次都正確

這次收音機壞了，酋長只能隨便猜一個天氣情況，請問他預言正確的概率是多少

預測準確率是不能遷移到其他問題類型的，預測票房的模型去預測期貨指數沒有意義。
由於末日降臨這個事件沒有任何可證實的成功預測，這兩個預言家必然也是沒有的，因此任何預測都沒有意義。

需要說明一點，我們先扔開那個菜逼不管，假設一個預言成功率百分之九十的大預言家說明天是世界末日，那明天真的世界末日的幾率多少？
百分之九十，因為不論末日發生是個概率多麼小的事情，末日發生和預言正確都是一件事，預言正確就會發生末日，發生末日就是預言正確，並不存在兩者都發生才會末日，預言正確的幾率是百分之九十。
以下是過程。
假設兩名預言家同時對明天會不會世界末日進行預言。其結果無外乎四種，兩人都錯，兩人都對，甲對乙錯，乙對甲錯。概率分別為27%7%63%和3%。兩人預言都是會發生世界末日，這就是一個兩人預言一致的條件。條件概率。

準確率就是一個很含糊的辭彙。
世界上至少有兩種不準：
1、報了世界末日，世界末日沒來，也即誤報率
2、沒報世界末日，世界末日來了，也即漏報率
所以準確率怎麼算？
於是這個題可以衍生出好幾種情形：
1、兩個預言家每天都預報世界末日，報了世界末日而明天世界末日真來了的概率記為a，報沒有世界末日而世界末日真沒來的概率記為b，報世界末日的概率記為c，已知甲的ac+b(1-c)為0.9，乙的為0.3，則明天的世界末日概率為甲乙二人a值的某個函數。
這怎麼算嘛！沒法算啊！
2、有兩個預言家，時不時地冒出來預言世界末日。所有記法同上，冒出來的概率記為d，則已知甲的dac+db(1-c)為0.9，乙的為0.3，求甲乙二人a和d值的某個函數。
這還是沒法算嘛！
3、有兩個預言家，他整天冒出來說「明天要世界末日啦」，已知甲平均每冒出來10次有9次第二天真的世界末日了，乙平均每冒出來10次有3次第二天真的世界末日了，現在兩人都冒出來，那你還是不知道明天是世界末日的幾率有多大，比如如果「乙每次一看見甲冒出來他就會跟著冒」的話，那倆人都冒出來跟甲自己冒出來沒啥區別；如果「兩人有仇除非出大事幾乎不會同時冒出來」的話，那這個概率就大到沒邊兒了。
4、世界末日就是預言家造成的，甲得手的幾率是0.9，乙得手的幾率是0.3，那概率就很好算了，1-（1-0.9）（1-0.3）=0.93

那得先分得清誰是悍跳的！

其實畫個「田」字形的圖就知道了。

手機打的，沒圖，大家想像一下…

左上角是a對，b對，0.9乘0.3等於0.27，
左下角是a對，b錯，0.9乘0.7等於0.63，
右上角是a錯，b對，0.1乘0.3等於0.03，
右下角是a錯，b錯。0.1乘0.7等於0.07，

我們分別分析一下四種情況：
第一種情況就是末日，
第二種情況不存在，因為明明預測的內容相同，不可能一對一錯，
第三種情況不存在，同上，
第四種情況就是非末日，

也就是說，要麼就是第一種情況，要麼就是第四種情況。

其中，第一種情況的概率就是：0.27除以（0.27加0.07）等於27除以34，好像約等於百分之80吧。

也許有人會疑問：第一個預言家預言的正確率在百分之90，他預言末日了，首先說明末日的可能性已經有百分之90了，無論第二個預言家準不準，他也預言了末日，聽起來末日的可能性應該更高了呀，為什麼反而隨著肯定的人增多，末日的可能性反而降低了呢？

原因很簡單，因為第二個預言家的成功率低於百分之50，也就是說一般而言，他預言的結果錯誤的可能性高於正確的可能性。所以因為他支持了末日，反而讓末日的結果變得更可能出錯，所以末日的可能性有所降低了。

這好像應驗了那句，不怕神一樣的對手，就怕豬一樣的隊友…