為什麼將x2+y2=1中x和y的指數換成大偶數，其圖像會接近一個正方形？

12-03

x^n + y^n = 1的圖像在n趨於∞時,是正方形嗎?

可以把這個方程改寫成：

$sqrt{frac{|x|^2 + |y|^2}{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$

然後推廣成

$left(frac{|x|^p + |y|^p}{2} ight)^frac{1}{p} = left(frac{1}{2} ight)^frac{1}{p}$

右邊常數不影響形狀，不妨考慮

$left(frac{|x|^p + |y|^p}{2} ight)^frac{1}{p} = 1$

左邊這個表達式叫做冪平均數，它在p趨向於0的時候極限是幾何平均值 $sqrt{|xy|}$ ，p趨向於無窮的時候極限是 $max(|x|,|y|)$ ，而且隨著p的大小遞增，所以整個曲線就會慢慢向 $max(|x|,|y|) = 1$ 收斂，而後者經過四個象限的鏡像延拓之後就是個正方形。如果反過來讓p越來越小，則會趨向於兩對雙曲線拼成的四角星。

都提到求導了為什麼不多求一次呢……

$x^n+y^n = 1$

$nx^{n-1}+ny^{n-1}frac{dy}{dx}= 0 Rightarrow frac{dy}{dx}=-(frac{x}{y})^{n-1}$

$frac{d^2y}{dx^2} = -(n-1)(frac{x}{y})^{n-2}frac{y-xfrac{dy}{dx}}{y^2} = -(n-1)(frac{x}{y})^{n-2}frac{1+(frac{x}{y})^n}{y}$

當n趨於正無窮的時候，可以看出在第一象限中y&>x的部分，曲率趨向於0，換言之函數圖象越平；其它部分則由對稱性得出。

嘿嘿，已經有答案說得很清楚啦～我從另一個角度說一下。
考慮unit ball B(單位球)， B={x,y ∈R, x,y ≤1∣abs(x)^n+abs(y)^n=1},
最熟悉的是n=2，就是個圓環，n=1是個菱形，然後隨著n變大，漸漸趨近於一個正方形。這個有什麼意思呢？其實這些在泛函分析lp空間裡面很重要。一個空間的單位球反映了這個空間的性質。
n=p, 是lp 空間的單位球。lp空間里我們定義的p範數‖.‖p，所以當n=∞是無窮範數，相當於‖x‖p=sup ∣xi∣, x∈Rn (在x,y 情況下相當於取x,y 當中絕對值大的那個。現在就很好看為什麼是個正方形了。)
有什麼意義：
1.p≥1開始，單位球凸，所以n=p 是norm(範數?), P&<1並不滿足範數要求。
2.1&

恭喜你，騷年，你獨立發現了從 $L^2$ 範數到 $L^p$ 範數到 $L^infty$ 範數的「幾何表示」。。。

思考題：當 $pleq1$ 的時候會出現什麼情況？ $p ightarrow0$ 的極限情況呢？

因為比1小的數的高次冪趨於0.

任何數的n次方根，當n很大的時候，趨於1.

那麼你會發現

$x^n+y^n=c$

當n是大偶數的時候，是趨於正方形，n是大奇數的時候，第一象限和坐標軸構成的圖形趨於正方形，如果c不是特別大，那麼圖形與坐標軸的交點總是在1附近。如果c小於1但不是特別接近0，那麼結論不變。

嘗試一下大一數分題的解法，記得不多了，有疏漏請指正：

x^n+y^n=1，也就是y=(1-x^n)^1/n.

由於圖像對稱，只考慮第一象限y&>x的八分之一個圖像。

為了證明函數圖像的極限是一個正方形，也就是要證明在這八分之一的圖像上，y的極限是1。

也就是對於任意x&<1，任意小的d，需要證明存在一個足夠大的N，使得當n&>N的時候，總有：

1-y&

也就是(1-d)^n&<1-x^n.

這個其實很直觀，n足夠大的時候左邊趨向於0，右邊趨向於1.非要證明的話也不難選一個中間數1/2好了，使得：

(1-d)^n&<1/2&<1-x^n.

左邊要求n&>ln(1/2)/ln(1-d)，設為n1.

右邊要求n&>ln(1/2)/ln(x)，設為n2.

然後取n的下界也就是N&>max(n1, n2)就好了。

也就是說，當n&>N時，|1-y|&

證畢！

不對，以上！

呃。。說個更好理解的答案吧。

將表達式兩邊求導，得到隱函數的導數表達式（題主應該會吧？）
不難得到dy/dx＝-(x/y)∧(n-1)

dy/dx為斜率。由於n為偶數，所以直接以第一象限參考，其他象限類比即可。

先找3個特殊點。
A（1，0）B（0，1）C（a，a）
在A點，斜率是tan90o,即一條平行與Y軸的直線。
B點，斜率為0，平行於X軸的直線
C點，斜率為-1，平行於坐標軸二四象限夾角角平分線的直線。

故而得到結論1，無論n多大值，該圖形不會成為真正的正方形。

再回答題主的問題。當x≠y ,且x≠0,y≠0時。那麼x/y要麼大於1，要麼小於1 當n趨於無窮時，該比值極限要不為0，要不為∞

顯然，n越大，其特端點（A，B)附近點的斜率越容易和其相同，自然看起來也就越像正方形了。

許多答主已經提點得很到位了。偏一下題。

在二維的直觀上，我們可以參照此圖：圖源為wiki

答主 @靈劍提到了冪平均數（以 $M_p$ 表示），這裡照顧一些好奇的中學生，故借題發揮，補充兩個證明（以下與原題無關）。

其中存在幾個熟知的平均

$M_{-1}(x_1,dots,x_n) = frac{n}{frac{1}{x_1}+dots+frac{1}{x_n}}$ 調和平均

${displaystyle M_{0}(x_{1},dots ,x_{n})=lim _{p o 0}M_{p}(x_{1},dots ,x_{n})={sqrt[{n}]{x_{1}cdot dots cdot x_{n}}}}$ 幾何平均（證明可利用e的指數函數進行轉化，然後通過洛必達法則（Lamp;amp;#x27;H?pitalamp;amp;#x27;s rule）進行。見文末。）

$M_1(x_1,dots,x_n) = frac{x_1 + dots + x_n}{n}$ 算數平均

$M_2(x_1,dots,x_n) = sqrt{frac{x_1^2 + dots + x_n^2}{n}}$ 平方平均

$M_{3}(x_{1},dots ,x_{n})={sqrt[ {3}]{{frac {x_{1}^{3}+dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$ 立方平均

……

在中學中我們有學過熟知的GM-AM不等式，可寫為 $M_0leq M_1$ ，更長的 $M_{-1}leq M_0leq M_1leq M_2$ 等等；亦或通過一些技巧（如構造 $f(x)=x^{frac{p}{q}}(p>q>0)$ 求二階導等）可以證明 $M_p$ 關於 $pin mathbb{R}$ 是不減的

但是，

$M_{-infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{p o-infty} M_p(x_1,dots,x_n) = min {x_1,dots,x_n}$

$M_{+infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{p oinfty} M_p(x_1,dots,x_n) = max {x_1,dots,x_n}$

這兩個極限的結果可能並不是很直觀，這裡補充一下其初等一些的證明。

由於 ${x_i}$ 各項地位平等，擁有比輪換對稱性（cyc）更好的全對稱性（sym），所以我們大可通過兩兩交換以使 ${displaystyle x_{1}geq dots geq x_{n}}$ （當然，此處其實可以不需要這麼強的條件，只需要 $x_1$ 最大即可），如此不妨設後，根據定義，我們先證明

${sqrt[ {p}]{sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}leq x_{1}$

*為了一般性，這裡選擇帶權 $w_i$ 的形式，你可以用常數 $1/n$ 代替之。

*如果不太習慣看帶有 sigma 的表達式，可以把它在稿紙上展開，可能會更直觀。

以下假設 p 大於零（小於零時不等號均反向）

兩邊取 p 次冪去掉根號，我們得到

$sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}leq x_{1}^{p}$

兩邊減去 $w_1 x_1^p$ ,

$sum _{{i=2}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}leq (1-w_{1})x_{1}^{p}$

$sum _{{i=2}}^{n}{frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}x_{i}^{p}leq x_{1}^{p}$

因為權重和為1 ， $sum_{i=1}^n w_i=1,0<w_i<1$

即（注意 $i$ 的起始值是2）

$sum _{{i=2}}^{n}{frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}=1$

所以移項以後，

$sum _{{i=2}}^{n}{frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}(x_{i}^{p}-x_{1}^{p})leq 0$

根據我們的假設條件，這是成立的。取等當且僅當此有界序列兩兩相等， $x_i=x_j$ .

*仿此證明，可得到一個下界 $x_n$

在 p&>0 時，做一次放縮，有

$x_1sqrt[p]w_1={sqrt[ {p}]{w_{1}x_{1}^{p}}}<{sqrt[ {p}]{sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}leq x_{1}$

當p趨近於正無窮大時，根據夾逼定理，左式和右式極限均為 $x_1$ （因為 $0<w_1<1,lim_{p o infty} sqrt[p]{w_1}=1$ ），所以中間的式子極限也跟它們相同。證畢。

PS：

${displaystyle M_{0}(x_{1},dots ,x_{n})=lim _{p o 0}M_{p}(x_{1},dots ,x_{n})={sqrt[{n}]{x_{1}cdot dots cdot x_{n}}}}$

以下為證明過程：

我們利用恆等式 $x=e^{lnx} (x>0)$ 將原式（為了一般性，這裡選擇帶權 $w_i$ 的形式，你可以用常數 $1/n$ 代替之）改寫成方便使用洛必達法則（L"H?pital"s rule）的分式形式，這是一個求極限的常用技巧。

*為了避免指數部分字型大小太小，用 $exp(x)$ 表示 $e^x$

$M_p(x_1,dots,x_n) = exp{left( ln{left[left(sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p ight)^{1/p} ight]} ight) } = exp{left( frac{ln{left(sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p ight)}}{p} ight) }$

對指數部分，我們有

$lim _{{p o 0}}{frac {ln {left(sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{{i}}^{p} ight)}}{p}}=lim _{{p o 0}}{frac {{frac {sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}}{1}}=lim _{{p o 0}}{frac {sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{{i=1}}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=sum _{{i=1}}^{n}w_{i}ln {x_{i}}=ln {left(prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}} ight)}$

其中，第一個等號利用洛必達法則，對分子和分母分別求p的偏導數；第三個等號利用 $lim_{p o 0}x^p=1$ 以及權重和為1，即 $sum_i w_i=1$

再將結果回代（據複合函數的極限法則）即可

$lim_{p o 0} M_p(x_1,dots,x_n) = exp{left( ln{left(prod_{i=1}^n x_i^{w_i} ight)} ight)} = prod_{i=1}^n x_i^{w_i} = M_0(x_1,dots,x_n)$

證明其實不難，上面知友已給出答案。我就不幾張圖感受下

x**2+y**2=1

x**4+y**4=1

x**16+y**16=1

x**256+y**256=1

越來越方，256次下，從肉眼看已經是90度角了

第一眼想到隱函數求導。有人已經說了。
那我就再說個坐標系的拉伸吧。
y＝x^n，這個圖像在第一象限到達（1，1）處前的形狀很鮮明。直角就這樣子折出來的。

對於任何一個絕對值小於1的x，總存在足夠大的指數，讓y的絕對值從下面無限逼近於1.

對y來說，也一樣。

因為越二越方

三角換元

其實這樣想就很清楚了

考慮第一象限內邊長為1的正方形內部的任意點（x_0,y_0)，橫縱坐標均小於1，當n足夠大時x_0^n+y_0^n&<1
因而這個點在該曲線和坐標軸圍成的圖形的內部，而對於在這個正方形外部的點，x_0^n+y_0^n&>1總成立
因此當n充分大，每個正方形內部的點都在曲線內，正方形外部的點都在曲線外，因此曲線會無限接近正方形。

由於我水平比較低，所以我習慣說人話：

第一，0.993的1000次方約等於0.001。
第二，0.001開1000次方根約等於0.993。

第一條告訴我們：任意一個大於0小於1的數a，給它來個n次方，只要n夠大，結果都會接近0，除非a真的等於1。

第二條告訴我們：任意一個大於0小於1的數b，給它開n次方根，只要n夠大，結果都會接近1，除非b真的等於0。

你把式子變成：

看出來了？當n很大時，只要x大於0小於1，x的2n次方都是接近0的，因此被開方數接近1，再開2n次方根，更加接近1。
因此，無論x取0到1之間的什麼數，y都是非常接近1的數。
直到x真的從0.99999……變成1，y立馬從接近1的數瞬間變成0。形象表示就是：

x2+y2=1

4次方的

6次方的.

這是8次方.

......
......

猜猜一百次方是什麼樣子

是不是很接近正方形呢？
這是為什麼呢？

就舉100次方的例子，我們知道，即使是0.9的100次方，結果也會是 0.00002656139...
這麼小意味著什麼呢，意味著當x=0.9時，x的100次方特別小，幾乎可以認為是0，所以y的100次方會特別接近1，在這個例子裡面，y的100次方是0.999973438...那麼y是多少呢，沒錯，小於1的數開方會更接近1，它大概是0.99999973438...

到此為止，我們知道x=0.9時，y應當等於1（實際上是0.99999973438），類似的，x=0.8、0.7...0.1或者更小的時候，它的100次方會更加接近0，而同理，y會更加接近於1。

那麼更大的x呢？比如x=0.99，很容易，我們可以想到，如果冪次更高，比如10000次冪，x的10000次方，其實不用10000，大家可以驗證一下，0.99的1000次方就已經是0.00004317...了，已經夠小了，類似的，我們也可以得出一個十分接近1的y。那麼0.99的10000次方是多少呢？emmm，它是0.0000000000000000（假設它有43個）224877。所以不用我贅述y會接近1了吧。

所以，在1000 次方，即使是1000次方，x即使到0.99，y也會十分接近1，這才會讓圖看起來十分像正方形。

哦，忘了加一條，這種函數關於x和y都是對稱的，所以我就討論了第一卦限，哦，第一象限...

手機打字好累...

不用帶特殊值，不用感性分析，不用數值分析，也不用畫圖，用極限理論即可解決。

把你的式子改成 $|x|^{n}+|y|^{n}=1$ ，這樣的話對於任何n&>0，等式都有非零解。

此外我們在改寫一下，題主的問題等價於 $(|x|^{n}+|y|^{n})^{1/n}=1$ , 以簡化問題（求了幾何平均，簡化了|x|=1，|y|=1時的討論）。

注意到等式左邊是一個關於n的連續函數，所以我們只要證明當n趨於正無窮，圖像是正方形，即可說明圖像會隨n增大趨於正方形。

整理一下， $|y|=(1-|x|^n)^{1/n}$ , 所以x的定義域是-1和1及之間。同理，互換x和y，y的定義域也是-1和1及之間。

當|x|&<1， $|y|=e^{ln(1-|x|^n)/n}$

當n趨於無窮時， $lim_{n->inf} e^{ln(1-|x|^n)/n}=e^{lim_{n->inf}ln(1-|x|^n)/n}=e^{lim_{n->inf}-|x|^nln|x|/(1-|x|^n)}$ , 洛必達法則， $=e^{lim_{n->inf}ln|x|/(1/|x|^n-1)}=e^{constant/(infinity)}=e^0=1$ .