世界上最短的數學論文研究的是個啥？

12-03

2004年，普林斯頓大學的數學家John Conway和Alexander Soifer 向《美國數學月刊》遞交了他們認為有史以來字數最少的數學論文。整篇論文就兩個字：n^2 + 2 can，文字之外配有兩幅圖。收到論文後，《美國數學月刊》不知道該怎麼處理。編輯助理在兩天後寫了封回信，認為論文太短了，建議兩位作者加上一到兩句的解釋。但兩位數學家拒絕了這一要求，認為數量和質量之間不存在聯繫，他們覺得不需要額外解釋。5月4日，期刊主編 Bruce Palka親自回信，指出他們的論文太短，只能被稱為文章（articles）。這篇「文章」隨後發表在2005年1月的期刊上。

從篇幅上講，這是我見過的最短的數學論文。

最短數學論文不知道。但如果加上菲爾茲獎級別工作這個限制條件，最短論文可能是數學大師Milnor的這篇文章（算上參考文獻，大約6頁半篇幅）：

文章核心內容講了一件事：存在一個7維光滑流形 $M^7$ , 拓撲同胚於7維單位球面 $S^7$ ,但是兩者卻不是微分同胚的。具體講怎樣證明不是微分同胚，其思路是利用符號差定理構造了一個整數的mod 7微分同胚不變數 $lambda$ ,滿足 $lambda$ $(S^7)=0$ 但 $lambda (M^7) e 0$ ，這說明兩者不是微分同胚的。

Milnor在文章中構造了一個七維怪球 $M^7$ ，其等價的簡潔表述形式為：
$a^5+b^3+c^2+d^2+e^2=0 cap S^9$
註：這是一個8維代數超曲面相交9維單位球面形成的7維光滑流形 $M^7$ ,其拓撲同胚於7維單位球面 $S^7$ ,但是兩者卻不是微分同胚的。

然後，這篇文章標誌著微分拓撲的獨立，接著就菲爾茲了。

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點贊數超出預期了，得寫一個大一版本：
把拓撲變形想像成不撕裂的捏橡皮泥，兩個物體能互相連續變形稱為同胚。如果互相變形不但連續，而且還是光滑的，不產生稜角等角點，則稱為微分同胚。
兩個物體若具有某種等價關係，則對應等價關係的不變數相等。反之不一定成立。若不變數不相等，則不等價，這是逆否命題。

文章說明，存在兩個高維物體，其中一個是高維球面，二者可以互相連續變形，但變形過程中必然出現稜角。

就不能去找找全文么= =

標題就是所研究的問題：能不能用n^2+1個單位正三角形拼成一個邊長比n大的正三角形？

背景知識是這樣的：用n^2個單位正三角形，可以拼成一個邊長為n的正三角形，拼法就是像圖1中去掉最後一行那樣。那麼，多加一個單位正三角形，能不能拼成一個邊長比n大的正三角形呢？（這裡單位正三角形可以重疊，也可以覆蓋到大的正三角形以外的區域）

作者們給出的答案是：多加兩個單位正三角形就可以，並且給出了兩種拼法，分別如兩個圖所示。
第一種拼法是自頂向下的。前n-1行都按傳統拼法來拼，最後一行多加一個朝下的和一個朝上的單位正三角形，擠一擠，就能多擠出一點兒高度了。
第二種拼法是自底向上的。每一層都犧牲一點兒高度來換取一點兒寬度，使用了n^2-1個三角形後，頂上剩下一個邊長略大於1的正三角形區域待填，可以用三個相互重疊的單位正三角形來覆蓋。

作者的言外之意是只多加一個單位正三角形是不夠的，不過並沒有證明這一點。

我能想到兩個，Zagier的那篇Fermat平方和定理的一句話證明和馬仁義掛在arxiv上的證偽Hodge猜想的文章XDDDD

Counterexample to Euler"s Conjecture on Sums of Like Powers http://www.ams.org/journals/bull/1966-72-06/S0002-9904-1966-11654-3/S0002-9904-1966-11654-3.pdf
On the Converse of Lagrange"s Theorem http://www.maa.org/sites/default/files/On_the_Converse-Gallian34078.pdf

論簡潔怎麼沒人提黎曼的這篇論文：《On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity》http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/EZeta.pdf

1859年,黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文.這是一篇不到十頁的內容極其深到的論文,他將素數的分布的問題歸結為函數的問題,現在稱為黎曼函數.黎曼證明了函數的一些重要性質,並簡要地斷言了其它的性質而未予證明.
在黎曼死後的一百多年中,世界上許多最優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言,並在作出這些努力的過程中為分析創立了新的內容豐富的新分支.如今,除了他的一個斷言外,其餘都按黎曼所期望的那樣得到了解決.
那個未解決的問題現稱為「黎曼猜想」,即：在帶形區域中的一切零點都位於去這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題),這個問題迄今沒有人證明.對於某些其它的域,布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想.數論中很多問題的解決有賴於這個猜想的解決.黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻,也極大地豐富了複變函數論的內容.

「一日之錘，日取其半，萬世不竭」

陳老的這篇也只有6頁~

說一個雖然不是最短但是非常有趣的文章。

Rabinowitsch, J.L. (1929), "Zum Hilbertschen Nullstellensatz", Math. Ann. (in German) 102 (1): 520, doi:10.1007/BF01782361, MR 1512592 (G??ttinger Digitalisierungszentrum: Seitenansicht)

雖然是德語的，但是（一個具有基本代數知識以及基本英文能力的本科生）應該可以看懂.

這是著名的 Hilbert 零點定理 (Nullstellensatz) 的證明中的一步, 是現在教科書中幾乎標準的證明.

知道點兒數學史的人應該知道, 在那個年代 Math. Ann 處於怎樣的地位. 當時的主編是 D. Hilbert. （Math. Ann 是當時著名的 Brouwer–Hilbert controversy (https://www.wikiwand.com/en/Brouwer%E2%80%93Hilbert_controversy) 中 Hilbert 的陣地）.

關於這篇文章，一個更有趣的事情是， Rabinowitsch, J.L. 是誰呢？

實際上，正真的作者是 George Yuri Rainich，而 Rabinowitsch 是他的 bornname. 但是，知道這件事的人很少. 關於此，還有一個小故事（參考： Editor"s Endnotes on JSTOR）

Rainich was giving a lecture in which he made use of a clever trick which he had discovered. Someone in the audience indignantly interrupted him pointing out that this was the famous Rabinowitsch trick and berating Rainich for claiming to have discovered it. Without a word Rainich turned to the blackboard, picked up the chalk, and wrote
RABINOWITSCH
He then put down the chalk, picked up an eraser and began erasing letters. When he was done what remained was

RA IN I CH
He then went on with his lecture.

他還用類似的 A. Rabinowitsch 或者 S. Rabinowitsch 發表過一些文章，當然，也有用他本名發表的。（參考 Editor"s Endnotes on JSTOR）

現在這年代，誰敢發表一篇 Annals of Mathematics 卻不用真名呢？

Equilibrium points in n-person games
nash的畢業論文；雖然不短；但也不長，59行。
諾貝爾獎等級的作品。