現實世界中物體的長度大部分對應的是無理數，對應有理數很少，正確么？

12-03

補充：在讀高中時，那時發現：假設一個小球的半徑是R，隨著遊標卡尺精度的不斷增加，被測量物體雖然長度值不變，但它的實際測量值會不斷地變化。也就說這個值隨著精度的不斷增加，永遠都沒有窮盡。那麼可以理解成現實世界的長度對應的大部分是無理數么？

題主提了一個好問題，並且認識正確。

假設瓶子里有10000個玻璃球，包括9900個紅色的，100個藍色的。隨手抓一個，抓到的球可能是什麼顏色？答案很顯然：有99%的可能抓到紅色玻璃球。

現在把問題換到[0, 1]區間上，如果從這個區間里隨機挑一個數，可能是有理數還是無理數？答案一點也不顯然：幾乎一定是無理數。因為有理數的個數是可數無限個，無理數的個數是不可數無限個，後者包含的個數要遠遠多於前者。所有有理數加在一起的長度（在數學上叫測度）是0，而無理數的長度是1-0=1。因此如果隨機挑一個數，得到有理數的概率是0。

我們可以再說細一點，把區間[0, 1]平均分成10份，則隨機挑一個數，這個數落在每一份之中的概率是0.1。假如把區間[0, 1]分成兩部分，一份長度是0.2，另一份長度是0.8，每一部分可能由幾個小部分構成，仍然容易理解隨機挑一個數，這個數落在第一部分中的概率是0.2。最後，我們把[0, 1]分成兩部分，第一部分總長度為 $varepsilon$ ， $varepsilon$ 可以任意地小，並且這一部分包含全部有理數，剩下那一部分長度自然是 $1-varepsilon$ ，裡面只有無理數，所以隨機挑一個數，挑到有理數的概率不超過包含全部有理數的區間總長 $varepsilon$ ，又因為這個值可以任意小，所以概率值是0。

那麼，怎麼挑一個總長度為 $varepsilon$ 的區間集合包含所有有理數呢？因為有理數個數是可數的，可以記為 ${q_n}_{n=1}^infty$ ，我們取一個區間 $[q_n-frac{varepsilon }{2^{n+1}}, q_n+frac{varepsilon }{2^{n+1}}]$ 包含第n個有理數，則這些小區間的總長度只有 $varepsilon$ 大。

所以，如果讓人隨機挑一個實數，挑到的一定是無理數。

==================數學討論相當啰嗦==================
1. 什麼是可數？
自然數的個數是無窮的，定義為可數無窮。

2. 為什麼有理數是可數的？
有理數個數是可數的，也就是說有理數和自然數之間存在一一對應。一種方便的方法是證明自然數不比有理數少，同時也不比有理數多。

因為有理數集合包含自然數集合，因此有理數個數不少於自然數個數。為說明有理數個數不大於自然數個數，考慮平面上第一象限中坐標為整數的點[m, n]構成的點集A，所有有理數都可以寫成既約分數的形式，讓這個分數分子對應m，分母對應n，就建立了有理數和A之間的一個單射（只能一對一，禁止多對一，但是值域不一定能窮盡，比如[4, 2]就沒有有理數對應），而A中的點可以從原點出發按之字形進行自然數編號，因此和自然數之間存在雙射（個數一樣多）。因此可以列一個式子：自然數個數&<=有理數個數&<=平面上整數點集A的個數=自然數個數，也就證明了有理數集的大小和自然數集一樣。

3. 為什麼無理數是不可數的？
因為無理數和自然數之間不存在雙射，因此個數不是可數無限，其個數定義為不可數無窮。下面首先證明[0, 1]之間的實數和自然數之間不存在雙射，使用的是反證法：

假如存在[0, 1]之間的實數和自然數之間的一一對應，則所有實數全體可以記為 ${r_n}$ ，其中第 $n$ 個實數具有小數展開： $r_n=0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}...$
下面用所有實數構造一個新的數： $r=0.b_1b_2b_3...$ 滿足如果 $a_{nn}=0$ 則 $b_n=1$ ，否則 $b_n=0$ ，則因為 $r$ 的第 $n$ 位和 $r_n$ 的第 $n$ 位不同，因此雖然它一定在[0, 1]之間，但是不在編號中，和假設矛盾，因此[0, 1]之間實數個數不可數。

假設無理數個數可數，因為實數=有理數+無理數，而可數集合的並集還是可數集，得到實數個數可數的矛盾，因此[0, 1]中無理數集合是不可數的。實數軸上的無理數包含[0, 1]中的無理數，因此也是不可數的。

哈哈，這個問題我覺得沒有答案：）

我承認在任何一個區間內無理數比有理數稠密，但是你的問題缺依然沒有答案。因為物體的長度是無法精確測量的。

以下是一個思想實驗，有一個物體，我們用無限精確的尺子去測量，當精度達到原子級別的時候，根據不確定性原理，你無法同時準確的測定原子的位置和速度，而會產生一個固定的誤差，而且這兩個誤差的乘積一定大於一個常量（沒記錯的話是普朗克常數），所以，你就沒辦法精確測量一個物體的長度。

首先你要確定一個單位。如果你把這個物體的實際長度定義為1x，那麼它的長度就是有理數。如果用其他長度為單位，那麼一定是無理數。如果不考慮微觀、界面、量子效應，和尺子的相互作用什麼的。

無理數只是個數學概念。
數學是描述現實宇宙物理現象的工具，數學概念並不一定都有現實中的東西與之嚴格對應，只是用來近似計算物理現象而已。
宇宙是不是連續的，還是個有爭議的問題（目前傾向於認為宇宙是離散的）。
有句俗話說，物理公式中所有的微分方程，其實都是差分方程的近似。因為微分方程的數學處理比較容易，所以大家愛用而已。

具體到題主問題中提到的，隨著測量精度的不斷增加，測量值並不會無窮無盡，到了原子尺度就無法再增加精度了。可以理解為在這個尺度下，物體長度的測量不再連續，而表現出離散的性質。

在不考慮什麼量子效應的條件下（我相信你問的不涉及到那個），結論是，長度是有理數的概率是0。有人提到了測度的概念，就是那個。

如果有人繼續糾纏於量子效應，你就把題目換成「任取一個正數作為物體的長度，這個數是有理數的概率是不是很小？」

世界上只有一個物體的長度是有理數。那就是定義長度的那把尺子。

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對不起，忘了宇宙可能不是連續的。如果不是連續的，那所有物體的長度應該都是有理數。

實變函數裡面引入勒貝格測度
有理數是可數集因此測度為0，而無理數測度為1。
所以LZ你的認識是正確的

測量值和實際值根本就不是一樣的東西。實際值永遠不可能被準確測量。可以參考，量子力學測不準原理。

我們實際測得的長度應該是這個樣子的：
95526.761+-0.003m P=0.997
P是指實際長度在前面那個範圍之內的概率。
量子力學帶來的效應使得理論上我們的儀器精密程度也不能無限精密，這個效果只是表現在+-0.003這一項變小同時P也變小，而不是樓上說的出現離散/分立/不連續的情況。
所以不存在「精度無限增加」也就是說+-0.003這一項只能變小不能消去，否則P將為0，測量將沒有意義。
所以所謂現實世界中的長度的準確值本來就是不可測得的。

有很多是分形。

問題無意義,因為ΔxΔp≥h/4π.