-1的立方推導結果等於1，請問這屬於悖論嗎？

12-03

如圖所示，以上等式是一個悖論，還是存在數學意義上的錯誤？

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多謝各位大佬解答，題主高中數學確實沒學好。
PS：題主不是湖大學生，只是當時湊巧拿的湖大的紙而已……湖大的學子不要來找我。

不屬於悖論，屬於「等你學了複數你就知道了」。

根本原因在於a^b實質上包括了多種不同性質但有共同點的運算：
1. b是整數，代表若干個a相乘。但b不是整數時沒有定義。
2. a是非負數，b是任意實數，這是個連續函數，但a是負數是沒有意義
3. a和b都在複數域，實質上是exp(bln(a))，但是複數域的ln是個多值函數，所以當b不是整數的時候這個運算有多個結果
你用的公式(a^b)^c=a^(bc)，它只對第二種運算成立，而你將它誤用於了第一種運算，所以得到了錯誤的結果。要注意的是第三種運算中這個公式同樣不成立，因為ln(exp(a))會從單值變成多值，所以即使在複數域上，原式也不成立（從-1變成了±1）

兄弟, 套用指數冪的公式別忘了前置條件

運算是一步一步推廣的，推廣到什麼程度，不能保留所有規律，那就選擇，哪些能保，哪些保不住，哪些優先保，哪些優先棄。

恰恰是題主發現的問題，讓人們意識到，複數的冪指運算與正實數差異巨大，很多規則不能直接照搬。

當然，這些工作都是幾百年前的事了。

所以，如果你早生四五百年，可以叫它悖論，然後這個悖論被後面的數學家消解。

你在第二行（-1）^3＝（-1）^（6/2）後邊的變換已經不屬於恆等變形了，因為你所謂的6/2的實質運算過程是3×2/2，相當於將原數據平方後再開方，負數平方後開方的結果自然就是其本身的相反數咯。

PS：中學生別想那麼多，你所謂的悖論實際上就是自己恆等變換中間出錯了而已……

本回答絕無嘲諷題主以及其他負面意思，純粹是基於題主所給出的「結論」，舉一反三，望能夠鞏固大家對於負數的理解。

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題主，我也發現了一個類似的關係：

根據負數的定義，我們可以得出這樣的式子： $sqrt{-1} imessqrt{-1}=i^2=-1$ ，

可是我們可以仔細觀察一下上面式子的最左邊，我突然靈機一動，得出了下列關係：

$sqrt{-1} imessqrt{-1}=sqrt{-1 imes(-1)}=sqrt{1}=1$ 。

結合我們上面的得到的兩個式子，我們得出了一個非常有趣的結論： $-1=1$ ，然而這與我們的認知是完全相悖的，此刻，我彷彿感覺自己是《1984》中的溫斯頓，只能被迫接受 $2+2=5$ 這樣的結論。

這是典型的【你爹是男的，所以男的都是你爹】

keypoint是n次方根有n個，而不是1個

至少1的平方根有兩個，-1和1，顯然-1≠1

過程里隱含了-1=1
哪裡隱含了？
3＝6/2
3次方＝6/2次方
但開三次方不等於開6/2次方
（嚴格來說是開六次方再平方不等於開三次方）

（－1）^3=[（－1）^6/2]，顯然是不成立的，邏輯錯誤在於:
[（－1）^6/2]=[（√－1）]^6
在初中實數運演算法則中，√根號裡面的數必須≧0，實數範圍內的負數是不可以開平方的，即有非負性這個定義限制，實際是考慮了函數映射，但是忽略了定義域，所以很顯然，等式在初中知識體系內不成立，因為定義是不成立的。

在高中複數體系內，引入虛數單位i，i^2=-1，所以， [（－1）^6/2]=[（√－1）]^6=i^6=－1，計算以後顯然所列等式不成立。

看到有答主提到，√1＝±1，很明顯是錯誤的表示方法，因為在實數裡面，√裡面的數是正數，你對一個正數開方，不會出現負。
x^2=1，那麼x=±1顯然成立，√（x^2）=√1（兩邊取根號）成立，大佬可不要騙我說√1=±√1成立哦。
√（x^2）=±1顯然是錯誤的。

±√1=±1才是成立的，平方根和算術平方根不能混淆。

假如√1=±1，那麼，（√1）^3=1還是-1，以上。

開平方和根號也要按照jbf啊

如果x &< 0, x ^ (y/z) 不能推出 (x ^ y)^(1/z). 不用考慮虛數，如果實數不成立，複數也不成立。實數集是複數的子集。

之前幾個答主說得也蠻明白了，就是1/2次冪那一項出了問題，我稍微跟進一點。
這個問題其實就是在表達，一個複數不但有他的模長（1的模長是1）,還有他的幅角，參考複變函數。
在這個問題里你的1幅角並沒有指定，當1的幅角是4kpi時1/2次冪就是-1，（4k+2）pi時就是1啦。

只是……很單純的用錯了冪指數吧…………

euler公式。

哈哈，你再看看你這個演算法
-1 = (-1)^(2/2) = 1^1/2 = 1
你把負數平方又開方，當然是個正數
不需要複數啊，高中也學過根號(x)^2，x本來就可以取正負啦！

錯在等式左邊開根號了吧，負數開根號，那應該是複數了

哈哈 (-1/2±√3/2i)的三次方也等於1

首先得說，在複數範圍，n方根就有n個值，你還怎麼唯一映射回去，以防你還陷入(－1) ^ n ≡ 1中。即便在實數範圍內，最後一步開平方根的算式你也應該是啟用平方根而不是算術平方根

有這種想法挺好，存在的問題別人也說了，我倒是覺得如果從你的想法出發就不用定義負數了。

開方開出來是±1 w

1的二分之一次方是±1吧，題主你怎麼可以忘了這一層呢。

類比一下，就像是解方程之後出現了增根一樣，開方運算是會出BUG的。

充要條件邏輯問題。
反函數沒學好吧。

x平方的反函數是正負y開平方。

由於負數的分數次方會因為通分而產生符號不定的問題，所以我們不研究負數的分數次方。