費馬大定理的證明對科學界有什麼樣的實際意義？

12-03

它在哪些領域起到了什麼樣的拓展作用？

我不是專門學這方面的, 但試著做一些歷史性的註記. 一方面是很多人可能都感興趣, 另一方面是, 如果只是說這一個簡單陳述歷經了300年才被證明, 所以重要, 所以了不起, 所以值得研究, 因為它挑戰了人類智力的極限等等, 我覺得這樣的說法至少是不能說服我的.

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0. FLT 的證明從歷史上看實際分成了兩個部分. 首先是 Frey 觀察到 Taniyama-Shimura 猜想或許可以推出 FLT, 其後 Serre 把這個觀察精確成了 Epsilon 猜想, 並由 Ribet 證明. 也是在知道 Ribet 的結果之後, Wiles 才開始系統的研究 TS, 並最後在他學生 Taylor 的協助下證明了後者的一個特殊情形, 完整的 TS 由四個人在 2000 年給出, 其中三位是 Wiles 的學生. 實際上, 當時可能在 Ribet 之後開始真正 seriously 考慮 TS 的人只有 Wiles 一個, 因為這個 TS 本身實在太過美好, 所以大部分人都不覺得它成立, 或者至少覺得人類還沒到可以證明它的時代 (八卦聽來的). 接下來我們主要探討 TS 說了一件什麼事.

1. 把複平面 C 看成 R 上的二維線性空間, 那麼 2 階特殊線性群 SL(2,C) 在 C 上就有一個自然的作用, 稱為分式線性變換.

2. 有一類單變數全純函數, 它們在 SL(2,C) 的作用下有一定程度的 "不變性", 這類函數稱為模形式.

3. 我們可以把模形式做 Fourier 展開, 展開的級數的係數對應一個復半平面上的全純函數, 屬於一類 L-函數, 也就是說, 該全純函數可以解析延拓到全平面成為一個亞純函數, 滿足一定的函數方程, 並且可寫成某種 Euler 積形狀.

4. 我們把由 (多元) 多項式定義出來的方程組的公共零點集稱為代數族, 其上可以定義維數, 一維的代數簇稱為代數曲線.

5. 比如說, 對於有理數域上的一類代數曲線, 它們的定義方程可以寫成某種整數係數的, 於是可以模掉某個素數, 這樣的得到的有限域上的代數曲線的背景集合只有有限個點, 對於每個素數而言, 我們總是可以計算這些點的個數, 把這些個數作為係數可寫成某個 L-函數的 Euler 積形式.

6. 如果這個代數曲線的 L-函數, 同時也是某個模形式的 L-函數, 則稱該曲線為模曲線.

7. 代數曲線中一類很特殊的叫做橢圓曲線, 它是一個 3 次平面投影光滑曲線. TS 說: 所有有理數域的橢圓曲線都是模曲線. 當然它還有一些其它的等價陳述.

8. Wiles 在他的學生 Taylor 的協助下證明的是: 有理數域上半穩定的橢圓曲線都是模曲線. 這個特殊版本的 TS 已經足夠推出 FLT. 並且實際上其後 Wiles 的幾個學生所給出的完整的 TS 猜想 (現在稱為 Modularity 定理) 的證明很大程度上也是基於了 Wiles 所發展的想法.

9. 那麼, 什麼是半穩定的橢圓曲線呢? 實際上在上面我們提到橢圓曲線被要求是光滑的, 但是這個光滑的曲線在模掉某個素數之後得到的有限域上的曲線, 有可能不再光滑了, 不光滑的情形分兩種, 奇異的較輕微的稱為 Node, 奇異的較嚴重的稱為 Cusp, 我們把至多只出現 Node 的情形的橢圓曲線稱為半穩定的曲線.

10. 回到開頭, 似乎所有的一切都是從對模形式的研究開始的, 那麼為什麼要考慮模形式這種全純函數呢? 這是另一個非常龐大的超乎我能力的故事了...再更進一步回到你最開始的問題, FLT 對科學界有什麼實際意義? 我看不到有什麼意義, 我覺得它有意思, 是因為圍繞著它人們建立起了數學中許多極其深刻的對象, 和這些對象上的方法, 和聯繫. 正是這些美妙想法, 構造, 使得它深刻而有趣.

[1] Diamond, Shurman, Modular Forms: A First Course
[2] Dou, Zhang, Six Short Chpaters on Automorphic Forms and L-Functions (a new tiny book, try the first chapter!)
[3] Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves
[4] Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat"s_Last_Theorem
[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Semistable_abelian_variety

有一篇文章簡要介紹了安德魯懷爾斯的科研工作以及所獲獎項：
安德魯·懷爾斯，數學大滿貫

韓雪濤曾經寫過一本書《好的數學：下「金蛋」的數學問題》好的數學 (豆瓣)，其中就提到了費馬大定理，費馬大定理就是一隻下金蛋的鵝，通過對這個問題的研究使得整個學科有了新的面貌，因此其意義並不僅僅是證明了一個定理而已。
「早期的數論伴隨著這一問題的研究而得以擴展向新的數學分支——代數數論。」

在維基百科上看到這些：

由17世紀法國數學家費馬提出，一直被稱為「費馬猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬同時表明他已找到一個絕妙的證明而頁邊沒有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個數論世紀難題的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎。

http://zh.wikipedia.org/wiki/費馬大定理

很明顯這對於代數幾何以及數論有重大影響。

數學是基礎學科，對於其他科學有著不可或缺的作用，尤其是物理，「物理幾何不分家」，楊振寧研究規範場理論時就用到了陳省身的纖維叢的理論。晶體的結構就是由歐幾里得空間運動群的若干子群給出。基本粒子之間,也有種種對稱性,可以按群論明確它們的某些關係。等等。

最大的意義應該是那個什麼古山志村猜想吧，打通了兩個看似沒有關係的學科

不學這個沒辦法懂的，歷史性註記意義也不大，如果你不懂數學的話。甚至可以說，數學史是體現在定理中，不懂定理就不懂數學史。

N大於3有解，只是對於只能理解三維世界的人類大腦和知識體系無解，所以人類只能解n為0.1.2三種情況。
這是我的猜想，只能等外星智慧來證明了，哈