數學解題的本質就是把一個未解決的問題轉化成一個已經解決的問題，這個說法有道理嗎？

12-03

注意不是數學的本質，是解題的本質。

其實別說是數學家了，物理學家還有工程師也經常用這種思路。一個典型的例子是X射線衍射測結構。20世紀初物理學家發現X射線照射到晶體上會產生衍射圖案，根據衍射圖案可以反推出晶體結構。於是科學家利用這個辦法第一次測出了氯化鈉，金剛石等晶體的結構。

後來生物學家想用X射線測生物大分子如蛋白質的分子結構。然而蛋白質不是晶體，沒有空間平移對稱性，沒辦法產生衍射圖案。然後物理學家說：這還不簡單？把蛋白質變成晶體不就行了？

具體來說就是假定這是一個蛋白質分子

我們可以看出這個蛋白質分子是沒有周期性的。而結晶就是準備很多個這樣的蛋白質分子，把它們整齊的排列起來，就像這樣

形成一個規則的「蛋白質晶體」。這樣測出了晶體結構就等於測出了蛋白質結構。

於是生物學家如獲至寶，用X射線晶體學成功測定了胰島素，ATP合成酶，核糖體的結構。X射線晶體學也成為主流的測生物大分子結構的手段，絕大部分的生物大分子都是用這種方法測定出來的。然而，廣大生物工作者苦逼的結晶生涯從此開始了。。。

這個讓我想到了那個消防車的笑話……

我對這個問題是這樣理解的：數學的大致框架是由「公理-定理」而構成的。公理是一種不需要理由的假設，它們構成了我們思考的基石。而最初的定理則是在基石+邏輯法則（這裡也存在著公理與定理）這套體系中的產物。然後一層套一層地發展堆疊起來，便形成了不斷豐厚的數學。

可以看出，那些能被判定的命題都能通過由內到外的邏輯步驟進行判定（我也不知道怎麼表達才能不觸碰到哥德爾……）。也就是說基本上是一個「已知+邏輯法則=未知」的過程。這個單向拓展的過程有個缺點，就是沒有指向性，不能準確地對某一個既定命題做出判斷。所以我們藉助了「命題的等價」這個條件，使得一方面能夠從基石（公理）出發不斷向外漣漪般地拓展，另一方面還能夠將既定的待拓展內容與已有知識通過「等價」這條鏈子連接起來。也許是這個方法比較順應人的思考方法吧，所以大部分情況下我們都選擇使用它。

解一個題時會有以下兩種情況：

如果能找到與待解之題等價的命題，那麼解題的過程便是不斷的將它們連接起來，直到連接到一個已知命題為止，這時候待證命題與已知命題的真偽性是相同的。
如果無法通過待證命題」等價「出已知命題，那麼我們只能通過已知命題+邏輯法則不斷不精確地拓展，直到觸碰到待證命題為止。這也暗示著可能存在一些命題，我們的基石根本無法拓展到它們的地方，也就是它們是不可判定的。

所以我認為並不能所有的」解題「都是在將未知化解成已知，LZ的說法在部分情況下是成立的。

GEB裡面的」WU謎題「基本上是一個只能向外拓展的公理體系，因此在這套系統中可以更明顯地發現」把未知化為已知「很多時候存在著困難。可參考：http://jmchxy.blog.163.com/blog/static/746082322008210840110/

很有道理！把未知的問題和已知問題相聯繫不只在數學上，是人類解決所有問題的常用方法！並且關鍵在於你如何轉化！

一個問題被解決，表示找到這個問題的答案。答案是已知的，問題是未知的，從直觀上看解題的過程似乎是把未知轉為已知，從而解決問題。這是通常的求解問題思路，但我個人覺得不夠本質。
我提供一個供參考的看法是，一些真正困難的數學解題的過程往往很難通過把未知變已知來解決。而恰恰相反，我們其實是通過不斷地重新定義這個數學問題來一步步地回答它。最常見的做法是，一個問題太難，我們會找一個類似的問題來求解，放寬求解的條件，或者先證明一個特殊的例子看看。這樣的例子比比皆是，比如代數基本定理的證明，定義是在實數域上的，但是最後的證明卻在複數域上完成的。而且這種重新定義問題的過程，才是發現新數學或者新世界的關鍵所在。
一個問題的求解，它的本質應該不止於一個答案，它的本質應該是提醒人們換個角度看待問題，謎底便自在謎面上！

當然不對!數學的本質是尋求數學意義上的"真理".這裡我指的是結構,關係,數量,空間等等.
為了尋求這些真理需要數學工具.(比如微分就是研究一元連續實函數的最好,甚至可以說最自然的工具)
如果一個問題能被轉化為已經解決的問題,那這個問題,從某種角度,並沒有真正的數學價值.數學價值最高的問題是能開拓新領域的問題(比如科尼斯堡七橋論).第二流的是能帶出全新的數學工具的問題(比如歌德巴赫猜想.其意義在於發現研究素數的工具.)

呵呵，其實是句廢話，這個也是思考的本質，你只會用你知道的東西來考慮未知的東西。

那證明題呢，，，很多簡單的問題本來就都是已解決的問題啊

這是一種基本的數學思想——轉化歸結，簡稱化歸。

從上學的時候我們就已經很熟悉了。

算不算本質我不清楚，但這肯定是極其重要的一個綱領。

我不知道你說的解題指什麼？在攻克題目的同時運用的新方法新理論使我們對數學認識更深刻，數學工具更完善數學理論也因此加速發展可以說過程大於結果.

在複習的高數時候有一天，我突然明白了為什麼每次書上引入一個新的概念都是用已經學過的東西來解釋，因為這樣可以節省很多力氣，每次都可以把陌生的東西轉化成已知的，而不用自己再去從頭髮明一遍輪子。

另外，有一個關於數學家的笑話：

教授提出一個問題：現有煤氣灶、火柴、水龍頭和壺，怎樣燒水？
數學家和物理學家同時回答：裝水---點火---燒水。
教授改變問法：如果壺中有水呢？
出現了兩個答案：（1）點火---燒水；（2）把水倒出---再裝水---點火---燒水。
你知道那個答案是數學家的？
教授當然知道。答案一很簡練，這一定是物理的思維。答案二肯定是數學的思維，數學家首先會倒出壺中的水，並聲稱他已把後一個問題轉化成第一個問題了。