隨機從1x1大小的正方形平面上取3個點，構成銳角三角形的概率是多少？

12-03

如題。。請問這種隨機三角形，構成銳角三角形容易還是鈍角三角形容易？？？如果算概率的話

謝邀 @Wane Matt
這個問題在A Problem in Geometry Probability一文中已經得到了解決，雖然給題主的問題比好像有一丟丟不一樣。我在這裡搬運主要過程，中間的一些細節大家可以去看原文

paper中的問題是：假設有一個邊長分別為1和L的長方形 $left{ left( x,y ight):0leq xleq1, 0leq yleq L ight}$ ，隨機選三個點 $P_1=left( X_1, Y_1 ight)$ ， $P_2=left( X_2, Y_2 ight)$ 和 $P_3=left( X_3, Y_3 ight)$ ，那麼三角形 $P_1P_2P_3$ 是鈍角三角形的概率是多少？其中，找點的具體方法是設定 $X_1$ 、 $X_2$ 、 $X_3$ 為 $left[0,1 ight]$ 內均勻分布的隨機變數， $Y_1$ 、 $Y_2$ 、 $Y_3$ 為 $[0, L]$ 內均勻分布的隨機變數

首先簡化問題。三角形是鈍角三角形的概率是 $L$ 的函數，記為 $P(L)$ ，根據對稱性， $P(L)$ 是三角形中任何一個角是鈍角的概率的3倍。取 $P_1$ 為例，那麼有 $cos P_1=frac{left(P_1P_2 ight)cdot left(P_1P_3 ight)}{|P_1P_2||P_2P_3|}$ ，其中
$left(P_1P_2 ight)cdot left(P_1P_3 ight)=left(X_2-X_1 ight)left(X_3-X_1 ight)+(Y_2-Y_1)(Y_3-Y_1)$

定義 $X=left(X_2-X_1 ight)left(X_3-X_1 ight)$ ， $Y=(Y_2-Y_1)(Y_3-Y_1)$ ， $P_1$ 是鈍角等價於 $X+Y<0$ ，所以 $P(L)=3Pr{X+Y<0}$ 。假設 $X$ 的累積分布函數是 $F(x)$ ，則 $Y$ 的累積分布函數就是 $Fleft(frac{y}{L^2} ight)$ ，則有
$Pr{X+Y<0}=int_{-infty}^{infty} Fleft(-frac{x}{L^2} ight)dF(x)$ ，即 $P(L)=3int_{-infty}^{infty} Fleft(-frac{x}{L^2} ight)dF(x)$

所以需要解決 $F(x)$ 的問題。假定條件累積分布函數 $F_1left(x, a ight)=Pr{Xleq x|X_1=a}=Pr{(X_2-a)(X_3-a)leq x}$ ，則有 $F(x)=int_{0}^{1} F_1(x, a)da$

$(X_2-a)(X_3-a)= x$ 是一條雙曲線。當 $x>0$ 時， $(X_2-a)(X_3-a)leq x$ 是下圖中的陰影部分

需要注意的是這個圖有誤導性，左上角和右下角的兩塊白色區域可能不存在。在 $a^2> x$ 時左下角存在，面積為
$A_1(x, a)=int_{0}^{a-x/a} left(a+frac{x}{X_3-a} ight)dX_3=xlog x-2xlog a+a^2-x$

同理， $(1-a)^2geq x$ 時右上角存在，面積為
$A_2(x, a)=int_{a+x/(1-a)}^{1} left(1-a-frac{x}{X_3-a} ight)dX_3$
$=xlog x-2xlog (1-a)+(1-a)^2-x$

得 $F_1(x,a)=1-A_1(x,a)-A_2(x,a)$

由於 $a$ 的取值範圍是 $[0,1]$ ，故 $xgeq 1$ 時 $a^2leq x$ ，兩塊白色區域不存在， $F(x)=1$

當 $0<x<1$ 時，考慮兩塊區域出現的條件，得
$F(x)=int_{0}^{1}F_1(x,a)da= 1-int_{sqrt{x}}^{1}A_1(x,a)da-int_{0}^{1-sqrt{x}}A_2(x,a)da$
$=-2x(log x +1)+frac{1}{3}left(1+8x^{3/2} ight)$

當 $x<0$ 時， $(X_2-a)(X_3-a)leq x$ 是下圖中的陰影部分

這兩塊陰影面積同樣也可能不存在，但跟前一次的不同，前一次的兩塊可能不是同時存在，這一次的兩塊是同時的，要麼一起有要麼一起沒，存在的條件是 $x>a(a-1)$ ，而且兩塊面積相等，分別是
$A_3(x,a)=A_4(x,a)=int_{a-x/a}^{1}left(a+frac{x}{X_3-a} ight)dX_3$
$=-xlog (-x)+xlog(a(1-a))+a(1-a)+x$

得 $F_1(x,a)=A_3(x,a)+A_4(x,a)$

由於 $a$ 的取值範圍是 $[0,1]$ ，故 $xleq -1/4$ 時 $xleq a(a-1)$ ，兩塊陰影區域不存在， $F(x)=0$

當 $-1/4<x<0$ 時，考慮兩塊區域出現的條件，得
$F(x)=int_{0}^{1} F_1(x,a)da=int_{frac{1-sqrt{1+4x}}{2}}^{frac{1+sqrt{1+4x}}{2}}F_1(x,a)da$
$=2xlogleft(frac{1+sqrt{1+4x}}{1-sqrt{1+4x}} ight)+frac{1}{3}(1-8x)sqrt{1+4x}$

還剩 $x=0$ ，取個極限可得 $F(0)=1/3$

綜上可得（換行大括弧不會打）

於是我們就可以開始算了。看上面的函數形式， $F(x)$ 的導數即概率密度函數存在，所以
$P(L)=int_{-infty}^{infty} Fleft(-frac{x}{L^2} ight)F$

根據對稱性， $P(L)=P(1/L)$ ，所以考慮 $Lgeq 1$ 就行了。在 $x<-1/4$ 時 $F$ ，積分下限為 $-1/4$ 。若 $Lgeq 2$ ， $x>1$ 時 $F$ ；若 $1leq L leq 2$ ， $x>L^2/4$ 時 $F(-x/L^2)=0$ 。定義 $alpha=min(1,L^2/4)$ ，則
$P(L)=3int_{-1/4}^{alpha} F(-x/L^2)F$

經過好大一坨計算，可得（太尼瑪長了哥實在是打不動了）
$1leq Lleq 2$ 時

$Lgeq 2$ 時

圖長這樣

也就是說如果 $Lgeq0$ 隨便取，那應該是正好在正方形 $L=1$ 時 $P(L)$ 達到最低點 $97/150+pi/40$ ，大約為0.725。而三角形是直角三角形以及正好排在一條直線上的概率顯然都是0，故是銳角三角形的概率大約是0.275，跟其他同學的模擬吻合。最後， $L>1$ 時就相當於把 $L=1$ 的情況給「壓扁」了一點，從直觀上看，正方形中找到的鈍角三角形被壓了之後還是鈍角三角形，然而有些銳角三角形就變成了鈍角三角形，壓得越「厲害」就越多，所以相應的， $P(L)$ 在 $Lgeq 1$ 時會隨著 $L$ 變大而變大

points = RandomReal[1, {10^6, 3, 2}];
vector := ({#[[1]] - #[[2]], #[[2]] - #[[3]], #[[3]] - #[[1]]} );
judge := (Times[#[[2]].#[[1]], #[[3]].#[[2]], #[[1]].#[[3]]] );
Count[UnitStep[judge /@ (vector /@ points)], 0]/10^6 // N
結果0.27489
==============================================

固定點就不一樣了。

# -*- coding: utf-8 -*- import numpy as np


#產生一萬個樣本，每個樣本三個點，每個點有兩個坐標值

p = np.random.uniform(0,1,[1000000,6])
#對每個樣本得到三個向量標識三個邊

v = [p[:,0]-p[:,2] , p[:,1]-p[:,3],

     p[:,2]-p[:,4] , p[:,3]-p[:,5],

     p[:,4]-p[:,0] , p[:,5]-p[:,1]]
#三個向量兩兩內積

i = [v[0]*v[2]+v[1]*v[3] ,

     v[2]*v[4]+v[3]*v[5] ,

     v[4]*v[0]+v[5]*v[1] ]

i = [ii.tolist() for ii in i]

i =  map(list, zip(*i))

#內積小於0為銳角，三個角皆為銳角則銳角三角形 j = [ii[0]&<0 and ii[1]&<0 and ii[2]&<0 for ii in i] print float(sum(j))/len(j)

結果大概是0.275

約為:27.4789%

inline bool IsAcuteTriangle(float x0, float y0, float x1, float y1, float x2, float y2) { float x_dis_10 = x1 - x0; float y_dis_10 = y1 - y0; float x_dis_20 = x2 - x0; float y_dis_20 = y2 - y0; float x_dis_21 = x2 - x1; float y_dis_21 = y2 - y1; float sq_dis_10 = x_dis_10*x_dis_10 + y_dis_10*y_dis_10; float sq_dis_20 = x_dis_20*x_dis_20 + y_dis_20*y_dis_20; float sq_dis_21 = x_dis_21*x_dis_21 + y_dis_21*y_dis_21;


    return (sq_dis_10 + sq_dis_20 &> sq_dis_21)

           (sq_dis_10 + sq_dis_21 &> sq_dis_20)

           (sq_dis_20 + sq_dis_21 &> sq_dis_10);

}
inline float rand_real(float a)

{

    return a * (float)(::rand() / ((float)RAND_MAX + 1));

}
void main()

{

    const unsigned int count = 1000000000;

    unsigned int numAcuteTriangles = 0;
    float x0;

    float y0;

    float x1;

    float y1;

    float x2;

    float y2;

for (unsigned int i = 0; i &< count; i++) { x0 = rand_real(1.0f); y0 = rand_real(1.0f); x1 = rand_real(1.0f); y1 = rand_real(1.0f); x2 = rand_real(1.0f); y2 = rand_real(1.0f); if (IsAcuteTriangle(x0, y0, x1, y1, x2, y2)) { ++numAcuteTriangles; } } printf("%d, %f", numAcuteTriangles, numAcuteTriangles*100.0f/count); Sleep(100); }

用R，將三個點的坐標精確到小數點後10位，通過100000次模擬，形成銳角三角形的概率大概為0.2376；形成鈍角三角形的概率大概為0.7241。
f=function(n){
m=10
z=99
x=round(runif(6,0,1),m)
a1=(x[1]-x[3])*(x[1]-x[3])+(x[2]-x[4])*(x[2]-x[4])
a2=(x[1]-x[5])*(x[1]-x[5])+(x[2]-x[6])*(x[2]-x[6])
a3=(x[5]-x[3])*(x[5]-x[3])+(x[6]-x[4])*(x[6]-x[4])
y=sort(c(a1,a2,a3))
if(y[1]+y[2]&>y[3]){
z=0
}
else{
z=2
}
z
}
mm=100000
x=sapply(c(1:mm), f)
length(x[x==0])/mm

把問題拓展到1*1*1的正方體中，形成銳角三角形的概率大概為0.45984；形成鈍角三角形的概率大概為0.54366。
f=function(n){
m=10
z=99
x=round(runif(9,0,1),m)
a1=(x[1]-x[4])*(x[1]-x[4])+(x[2]-x[5])*(x[2]-x[5])+(x[3]-x[6])*(x[3]-x[6])
a2=(x[1]-x[7])*(x[1]-x[7])+(x[2]-x[8])*(x[2]-x[8])+(x[3]-x[9])*(x[3]-x[9])
a3=(x[4]-x[7])*(x[4]-x[7])+(x[5]-x[8])*(x[5]-x[8])+(x[6]-x[9])*(x[6]-x[9])
y=sort(c(a1,a2,a3))
if(y[1]+y[2]& z=0
}
else{
z=2
}
z
}
mm=100000
x=sapply(c(1:mm), f)
length(x[x==0])/mm

知乎首答。
看了前面兄弟的python代碼，發現實現之後得到的概率是0.382.............
仔細看了一下，其實只有一點小瑕疵。就是........均勻分布的上限應該是根號二。

import numpy as np import numba as nb

def sim(k=100000): sum=0 for i in range(k): x_rand=np.random.uniform(0.0, np.sqrt(2), (3,)) y_rand=np.random.uniform(0.0, np.sqrt(2), (3,)) vec1=np.array([x_rand[0]-x_rand[1],y_rand[0]-y_rand[1]]) vec2=np.array([x_rand[1]-x_rand[2],y_rand[1]-y_rand[2]]) vec3=np.array([x_rand[2]-x_rand[0],y_rand[2]-y_rand[0]]) ipro=np.array([vec1[0]*vec2[0]+vec1[1]*vec2[1],vec2[0]*vec3[0]+vec2[1]*vec3[1],vec3[0]*vec1[0]+vec3[1]*vec1[1]]) if np.allclose(ipro&<0, np.array([True, True, True])): sum+=1 return float(sum)/k if __name__=="__main__": ralist=[] for i in range(10): sim_nb = nb.jit(sim) ratio=sim_nb() ralist.append(ratio) print ralist

嘗試了故意寫成for循環然後用numba加速的形式，然而加速效果不好。
這是10次模擬的結果：
[0.27508， 0.27400，0.27343，0.27607，0.27662，0.27639，0.27580，0.27538，0.27519，0.27434]

在matlab上寫了個隨機數程序採用蒙特卡洛方法，得出1*1 正方形內出現銳角三角形的可能性約為0.274291 （計算時採用1000000次 loops。
1*1*1 立方體內出現銳角三角形可能性約為 0.456764。

同時還粗略估算了下在以上二維和三維中出現直角的概率，非常難得到非0值。

編程序的方法挺機智，給點個贊！

將1×1的正方形化成99×99的等距網格，得到100×100個節點，不重複任取不在一條直線上的三個點得到所有的三角形，再對三角形進行計算判斷是否為銳角，簡單暴力，跑程序瞬間可以算出來。

對於取樣方法：

正方形中的每個點其實是同質的（？），對正方形內所有點取三角形其中有很多點是幾何上重複的，分子和分母同比例增加。我想如果劃成99×99個節點，固定正方形中心的點為三角形的一個點，在其他所有點中任取兩個（不重複不同線）進行取樣，是否也可以計算出同樣的結果？

如果可以，那麼正方形的上下兩半或左右兩半也是重複的，不如將正方形一分為兩個等面積長方形，以一個長邊的中點為固定點，在長方形內取兩點得到三角形，是否也可以計算出同樣的結果？

在上班沒法編程序….純粹開腦洞，不知道我這個邏輯是否正確……求驗證！

那麼繼續開腦洞吧！

雖然沒有清晰的邏輯思路，但是感覺上這個問題與「在一個圓（邊）上任意取三點得到的三角形是銳角三角形的概率是多少？」結果應該一致…..猜的，哪位大俠來計算一下？

圓內取三點，這個概率是0.280325,不知道算錯沒有

由於之前未考慮在(0,t)內的點形成的鈍角，故修改如下：
當第二個點為t時，第三個的形成銳角三角形的概率為P(t)（如圖）。
而每個點t出現的概率為dt/2x。
所以：（見下圖）

-----------------------華麗的分割線，以下並未考慮在區域內的鈍角三角形，且t出現的概率貌似錯誤，以上為修改版----------------------------------------------------------------------------------------------------------首先考慮1*1大小和2*2大小乃至n*n大小的平面是否等效的問題，從放大和縮小的角度來說，應該是等效的，所以可以考慮整個平面上任意3點銳角三角形的概率。等效於將一個點定在原點，另兩個點任取，同時等效於第一個點定在原點，第二個點定在x軸，第三個點任取的概率。不知道如下過程是否正確。

等於0或者1/4，利用三角形角平分線交於一點，任意一個三角形的角平分線焦點與三個頂點都形成3個鈍角三角形，並且生成的三個鈍角三角形都對應同一個銳角三角形。
其次，生成的鈍角三角形仍然可以無限按上述步驟分解，最終一個銳角三角形可以對應無窮多個鈍角三角形
類似於90,45,22.5，一直下去，小於90度的會有無窮多個

一個銳角三角形對應無窮多個鈍角三角形，並且這些鈍角三角形都對應同一個銳角三角形，這裡的鈍角三角形位置數據是相關性很強的，而電腦生產的隨機數沒相關性。隨機抽的話，應該接近1/4。因為接著分解的三角形都是相關的
-----------------------------------------之前的答案分割線-----------------------------------------------------------------------------------
接近1/4或者等於0....，因為一個銳角三角形可以構造出3個鈍角三角形
構造方法有很多種，（重心構造，外角構造等），但任何一種構造都是在大多數情況下是1:3，剩下的不是1:3的雖說也是不可數的，但是遠比是1:3的數量少