階乘函數n！推廣到連續情形是gamma函數，那麼為什麼特別要這樣定義：Γ（n+1）=n！呢？

12-03

為什麼不定義成Γ（n）=n！先向各位的幫忙道謝啦！

首先， $Gamma (n+1)=n!$ 並不是Gamma function 的定義，

它的定義是：
$Gamma(x)=int_R t^{x-1}e^{-t}dt$

所以 $Gamma (n+1)=n!$ 是由定義推導出的性質. 推導過程見Γ函數.

其次我覺得你真正的問題是：為什麼要這樣定義？

如果我們想要 $Gamma(n)=n!$ 那麼Gamma 函數應該定義為 $Gamma(x)=int_R t^{x}e^{-t}dt$ .
但後來的數學家為什麼不這麼做呢？這是因為跟Beta function聯繫時形式會變得不好看，但是如果使用現在主流的定義方式，會發現 $B(m,n)=frac{Gamma(m)Gamma(n)}{Gamma(m+n)}$ ，這種對稱形式上的優美更討數學家喜歡.

More details, please see LDA-math-神奇的Gamma函數(1) .

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階乘函數n！推廣到連續情形是gamma函數，那麼為什麼特別要這樣定義：Γ（n+1）=n！ 呢 ？

階乘函數n！推廣到連續情形是gamma函數，那麼為什麼特別要這樣定義：Γ（n+1）=n！呢？