平面中任意分布的四個點，其中任意二個點之間距離的最大值是a，最小值是b，什麼情況下a/b的值最小？

12-03

通過歸納應該是 $sqrt{2}$ ，四個點呈正方形分布，但是不知道如何證明……
如果有人能給出一個簡單的證明就感激不盡了。

現在已經找到了取到 $sqrt{2}$ 的情況，所以只要能證明不存在小於它的情況就可以了。
假設4個點中A和B之間的距離為 $a$ ，那麼分別以A和B為圓心，分別以 $a$ 和 $frac{a}{sqrt{2}}$ 為半徑畫圓。
如果 $frac{a}{b}$ 存在小於 $sqrt{2}$ 的取值，也就是說存在一組點使得 $b>frac{a}{sqrt{2}}$ ，那麼第三個點和第四個點必須在下圖中的陰影區域，且它們之間的距離大於 $frac{a}{sqrt{2}}$ ，小於等於 $a$ .

不難證明這樣的兩個點是不存在的。因為只有它們在圖中C點和D點的位置上，也就是構成正方形的位置上，才能保證CD距離不大於 $a$ .否則無論無論如何選擇兩點都會使它們之間的距離大於 $a$ 或者小於 $frac{a}{sqrt{2}}$ .

引理: 直角或鈍角三角形的斜邊不小於較小直角邊的 $sqrt{2}$ 倍.
證明: 顯然.

回到原題. 除開凸包是線段的平凡情形外, 四個點的凸包是三角形或者凸四邊形. 顯然其中必有三個點構成直角或鈍角三角形的三個頂點.

連接三點，用三角函數求極值