n 個平面最多把 3 維空間分成幾個部分？

12-03

原問題：

詳細討論 5 個平面最多把 3 維空間分成幾個部分？

首先你得知道k條直線最多把平面分成(k^2+k+2)/2個部分, 並且大概知道證明.

然後空間的情形類似, 並且要用到上述結論.

------------------------我是詳細答案的分隔線--------------------------

引理: $k$ 條直線最多把平面分成 $dfrac{k^2+k+2}{2}$ 個部分.
引理的證明: 用數學歸納法, $k=1$ 時顯然成立. 假設 $k$ 條直線最多能將平面分成 $frac{k^2+k+2}{2}$ 個部分, 那麼對於 $k+1$ 條直線, 前 $k$ 條至多將平面分成 $frac{k^2+k+2}{2}$ 個部分, 第 $k+1$ 條直線和前 $k$ 條直線至多交於 $k$ 個不同的交點, 從而它至多被分成 $k+1$ 段, 每段將一個平面區域一分為二, 因此 $k+1$ 條直線至多將平面分成不多於 $frac{k^2+k+2}{2}+k+1=frac{(k+1)^2+(k+1)+2}{2}$ 個部分.
另外當這 $k+1$ 條直線兩兩相交, 並且任意三線不共點時, 這個數可以被取到. 從而引理成立.

回到原問題, 我們來證明 $k$ 個平面最多把空間分成 $frac{k^3+5k+6}{6}$ 個部分
同樣用數學歸納法, $k=1$ 時顯然成立. 假設 $k$ 個平面最多能將空間分成 $frac{k^3+5k+6}{6}$ 個部分, 那麼對於 $k+1$ 個平面, 前 $k$ 個平面至多將空間分成 $frac{k^3+5k+6}{6}$ 個部分, 第 $k+1$ 個平面和前 $k$ 個平面至多交於 $k$ 條不同的直線, 這些直線將第 $k+1$ 個平面分成至多 $dfrac{k^2+k+2}{2}$ 個部分, 每個部分將一個空間區域一分為二, 因此 $k+1$ 個平面至多將空間分成不多於 $frac{k^3+5k+6}{6}+dfrac{k^2+k+2}{2}=dfrac{(k+1)^3+5(k+1)+6}{6}$
個部分.
另外當這 $k+1$ 個平面兩兩相交, 任意三個平面有公共點且不共線(從而不會出現兩個平面在第三個平面上的兩條交線平行或重合), 任意四個平面不共點(從而不會出現三個平面在第四個平面上的三條交線共點)時, 這個數可以被取到. 證明完畢

因此當 $k=5$ 時, 所求的值是 $26$ .

這題的推廣（ $mathbb{R}^n$ 去掉 $k$ 個 $n-1$ 維仿射子空間之後最多有多少個連通塊）並不難做……目前手機不好打公式而已……

以 $f_n(k)$ 記答案。我們對 $n$ 歸納。顯然， $f_0(k)=1$ . 假設 $f_{n-1}(k)$ 已求出，考慮 $f_n(k)$ . 再對 $k$ 歸納。顯然我們有 $f_n(0)=1$ . 假設已去掉 $k-1$ 個仿射子空間，現考慮去掉第 $k$ 個。不難看出，去掉第 $k$ 個子空間最多能增加的連通塊個數等於這個子空間被它與前 $k-1$ 個子空間的交所分成的連通塊個數。由歸納我們已經求出這個增加數最大為 $f_{n-1}(k-1)$ , 故有 $f_n(k)=f_n(k-1)+f_{n-1}(k-1)$ .

由此不難解出（或歸納證出） $f_n(k)=sum_{j=0}^ninom{k}{j}$ （應該沒法再化簡了，可以求出生成函數 $sum_{n,kge0}f_n(k)x^ny^k=frac{1}{1-x-y+x^2y}$ , 看上去很簡潔然而並沒有什麼用……？我也不知道怎麼研究二元的數列QAQ）

評論中提到了個問題，即不可能有多少個連通塊……這個問題在二維時已經很不好做了QAQ, 所以我也不知道高維的情況啊……

定義一個方向不平行於這5個面，
用一個大球把所有內部的塊完全包進去，並且這樣球內的塊和原來一樣多
考慮每個被分出來的塊在這個方向上的最下面一點
1.這個點關聯且僅關聯3個面，故這樣的有C（n，3）

2.僅關聯兩個面及大球面同理共C（n，2）個
3.僅關聯一個面和大球面
共C（n，1）個
4.這個點在大球面上
必須是大球面在這個方向上最下面一點
只有一個
共C（n，3）+C（n，2）+C（n，1）+1
個部分
n=5，共26個部分

這個題目我做過。我遇到的問題是「九刀最多把西瓜切成幾塊？」

這個題目當時我不聽課花了很長時間做出來的，但是時間過了那麼多年了具體過程已經忘了。重新構思，大概思路是：

（1）.首先想像操作切1、2、3、4、5刀最多能切多少塊。1、2、3刀比較容易想像，第四刀開始比較吃力但是也不是很難。得出結論一二三四刀分別最多切出2、4、8、15（三稜錐四個點四個面六個棱個一個封閉空間數量共15）塊。

但是到切到5刀的時候就非常抽象了，好在有切四刀的三稜錐模型，在此基礎上多花些時間也可以在草稿紙上畫出切五刀的模型來的。這個我當時做了好幾節課的壞學生才勉強畫好的，但原稿現在已經丟失了T_T。
然後哥我又花了這麼長的時間數出來了，切五刀最多26塊。
（2）.然後就是找規律。爪機無力，拍個照

像素渣。所以切五刀分26個空間，切九刀分130個空間。

以上的方法只是歸納找規律的方法，並不是一般性方法。要證明這個規律我暫時還沒想到方法。

這是一道高中數學題而已，用數學歸納法，方法是注意交線；模仿二維的證明技巧，所以先要把二維的情況研究清楚然後類比這個方法

見 d維空間中n刀切蛋糕最多能切多少塊？求f(d,n) - 數學 - 知乎