如何解釋「有限」、「可數」、「不可數」與「無限」？

12-03

謝謝邀請。（呀這都是兩年前的問題了…！）

我先引用教材（Real Analysis (4th Edition) [Halsey Royden, Patrick Fitzpatrick]）上的話來回答問題，接著再具體解釋：

A set E is said to be finite provided either it is empty or there is a natural number n for which E is equipotent to {1, ..., n}. We say that E is countably infinite provided E is equipotent to the set N of natural numbers. A set that is either finite or countably infinite is said to be countable. A set that is not countable is called uncountable.

我想這段話就足夠回答題主的問題啦。不過我想換一個有趣的角度解釋一下~

=====================以下是解釋=====================

問個問題：紐約在美國的哪個州？

不知道…

不知道沒關係，但我現在告訴你，美國總共有50個州，你來猜一猜吧！

嗯好的，這樣我頂多猜50次就能猜中正確答案了！

要的就是這句話！我們來想一想，為什麼猜50次就一定能猜中呢？因為美國總共只有50個州，所以答案只可能是50個州中的一個。（硬要說49次也行，不要在意這些細節…）

換句話說，『候選答案集合』里元素的個數是50個，是有限的。

當『候選答案集合』里元素的個數是有限的時候，你在猜之前就能知道最多需要才多少次。

對了，不用猜了，紐約在紐約州…

當『候選答案集合』里元素的個數不是有限的時候會是什麼樣的情況呢？

嗯，請聽題：存在有多少種正多面體？

我猜猜…一種…？

不對！

兩種…？

再想！

三種…？

還是不對！

四種…？

接近了！

五種？？？

哇你答對了你好厲害哦！

好吧，客套話而已，沒什麼厲害的。你只是一個個地猜嘛╮(╯_╰)╭

這回，候選答案可以是任何正整數，這就不是有限的了。可以看出，這回你沒有辦法提前知道最多要猜多少次。

只猜了五次是因為答案就是5，如果要是問『Taylor Swift有多少前男友』，你可能就要這麼猜上好一會兒了…（不用猜了，這裡有答案：Who is Taylor Swift dating?）

但是！！注意！！儘管你不知道需要猜多少次，但是你知道，照這麼猜下去，一定在某個時候可以猜到答案！！

這點很重要，我再說一遍：因為這題的答案只能是個正整數（啊因為TS至少也有一個前男友嘛），所以你把正整數從小到大一個個猜過去，總能猜到答案。

如果按照順序猜下去，一定可以在某個時候猜到答案的話，我們就可以說，『候選答案集合』是可數無窮的。（有限的情況之前已經說過了，這裡就忽略了。）

在這個例子里，正整數集就是可數無窮的。

『有限的』與『可數無窮的』合在一起稱為『可數的』。

『猜答案』是一個判定集合是否可數的好方法！我們現在已經知道，正整數集是可數的，那麼如果加上負整數呢？整數集是可數的嗎？

換句話說，如果我問你個問題，唯一確定的是這個問題的答案是整數，你有辦法一定能把答案猜出來嗎？

這回『從小到大猜』的方法可就不管用了，因為根本就沒有最小的整數呀！

好吧，我們可以從中間向兩邊猜/按照絕對值從小到大的順序來猜，即0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …這樣一來，只要答案是某個整數，那麼一定可以猜到！

所以，整數集也是可數的。

有理數集呢？可數嗎？

換句話說，如果我問你個問題，唯一確定的是這個問題的答案是有理數，你有辦法一定能把答案猜出來嗎？

還是有辦法的，我們可以按照最簡分數的分子分母之和從小到大的順序來猜，即：

（圖片來自Wikipedia。紅色的不是最簡分數，猜的時候可以跳過，因為其最簡形式已經被猜過，想想為什麼。）

所以，有理數集是可數的。

好，那代數數是可數的么？

是的，我們可以按照代數式字元數從小到大的順序來猜，即：

三個字元：
$x=0$

四個字元：
$2x=0,3x=0,...,9x=0$
$x^{2}=0,x^{3}=0,...,x^{9}=0$
$-x=0$

五個字元：
…………

…………

如此猜下去，對於任何一個有理數，我們都會在某個時候猜到它。

所以，代數數集是可數的。

可計算數是可數的嗎？可定義數是可數的嗎？

好吧這兩個問題可能有點麻煩，因為我並沒有說清楚什麼叫『可計算數』和『可定義數』…我不打算在這裡具體去解釋這兩個詞啦，不過這兩個問題的答案都是肯定的，因為我們可以分別按照演算法和文欄位落的長度從小到大的順序來猜。

（M67大神在圖靈生日會上具體講過『可計算數』，可以看顧森在圖靈生日會上的演講。）

連可定義數都是可數的，那還有什麼東西是不可數的么？

有！實數集不可數。

換句話說，如果我們只知道某個問題的答案是個實數，那麼我們沒有任何辦法按照某種順序把它猜出來。

（好吧其實不太嚴謹，因為這樣一來這個數是『可定義的』，我最好說『某個不可知的問題的答案』——這不是定義，只是描述。）

怎麼證明呢？注意，要想證明一個集合可數，我們只需要找出一種猜法就行了；但要想證明一個集合不可數，我們必須要證明不存在任何一種猜法！怎麼辦…？

這個時候就要請出『第一個理解了無窮大的人』——喬治·康托爾（Georg Cantor）。

康托爾在1891年的這篇論文里很巧妙地證明了實數不可數。實際上，這種『對角論證法』說明0到1之間的實數已經不可數了。

康托爾用的是反證法：假設存在一種『猜法』，即把0到1之間所有實數不重複不遺漏地排列出來的方法，如下（截圖自Wikipedia）：

現在我們構造一個0到1之間的實數，其小數點後的第n位與 $r_{n}$ 不同：

也就是說，這個數的小數點後第一位不是5，第二位不是1，第三位不是4…

這就意味著，這個數與列表中的每一個數 $r_{n}$ 都至少在小數點後第n位是不同的。再換句話說，這個數不在這個列表裡！

無論列表是什麼樣的，我們總能用這種方法構造出一個不在列表中的數，這就意味著，沒有任何一個列表可以包含所有的0到1之間的實數。

所以，實數不可數。

可定義數是可數的，而實數是不可數的，這意味著什麼…？沒錯…不可定義的實數遠遠多於可定義的實數——幾乎所有的實數都是不可定義的。

等等，幾乎所有的實數都是不可定義的？？？舉個例子？？？

不不不，根本就舉不了例子，因為它們不可定義。引用M67大神在比根號2更「無理」的數這篇文章中說的話：

好在，雖然有那麼多數是沒有辦法描述的，但數學家們也不會損失什麼。每一個值得研究的數一定都有著優雅漂亮的性質，這些性質就已經讓它成為了能夠被定義出來的數。

嗯。

既然提到了康托爾，我就再多說幾句。我在直線是由點組成的嗎？那不是說無限個零相加大於零？ - 匡世珉的回答這篇回答里提到了『測度』的概念。

所有的可數的集合都是零測集。如果在一個可測集內，不滿足某個性質的元素構成的集合是零測集，我們就說此性質在這個可測集上『幾乎處處』成立。

好吧我知道這個概念很複雜…我就是想安利一下康托爾函數嘛╭(╯^╰)╮

康托爾函數是連續的，在其定義域[0, 1]上的導數幾乎處處為零，然而f(0)=0, f(1)=1！！！

用通俗（但不嚴謹）的話來說，康托爾函數的圖像是連續的，沒有斷開，而且圖像上幾乎每一個地方都是水平的，但是它神奇地卻從0升高到了1！！！

想知道這是怎麼回事嗎？

一切精彩，盡在測度論╮(╯▽╰)╭

那麼就這樣=w=

（1）對於集合X，存在映射f是X至N的單射，則X是可數的；
（2）對於集合X，存在映射f是X至N的滿射，則X是無限的；
（3）對於集合X，任意映射f都不是X至N的單射，則X是不可數的；
（4）對於集合X，任意映射f都不是X至N的滿射，則X是有限的。
其中：N是自然數集，是可數無窮的，它可以表示可操作化的、可步驟化的無限時間序列，（3）與（1）互為否定，（4）與（2）互為否定。
-----------------------------
（以上只是集合與映射的循環論述，僅供理解）

你有十個蘋果，這是有限；
你蘋果太多了，永遠吃不完，這是無限；
在無限的情況下，你把蘋果按照某種標準（比如大小）編一編號，1，2，3... 這是可數；
無限的另一種情況，蘋果橘子梨亂七八糟什麼玩意都有，你沒法按照統一的標準編號，就是不可數（就是無限裡面可數的對立面，字面理解）。

以上可能會對你的理解有點幫助。

嚴格的定義與解釋涉及到集合的基數（card）的相關知識，這是測度論的預備內容，太專業了，還是去看樓上大牛們如何裝逼的吧。

一個集合所有的子集組成的集合稱為這個集合的冪集。
補充一些結論：
1.一個無窮集合的冪集的勢嚴格大於原集合的勢。所以『』無窮『』可以有無窮多種。
2.有理數的冪集跟實數的勢相同。

康托的連續通假設是不存在大小介於有理數的勢和實數的勢之間的勢。
找本點集拓撲看看就好。