圓桌上1000個人輪流向左或右開槍，最後活下來概率最大的是幾號？

類似問題：圓桌上1000個人輪流開槍，最後活下來的是幾號？

本題和上面這個鏈接的規則略有不同，具體如下：

1000個人圍坐圓桌一圈，最開始1號手裡有把槍，1號可以選擇向左（1000號）開槍，也可以選擇向右（2號）開槍，向兩側開槍的可能性完全隨機（向左向右全是50%）。開槍後，1號把槍交給他未開槍的那一側（打死2號就把槍交給1000號，打死1000號就交給2號），2號或1000號接過槍後，按同樣規則向左或向右開槍。以此類推，直至只剩1個人活著為止。那麼最後活下來概率最大的是幾號？

兩點注釋：

1.每個人之間不能串通。例如1號如果開槍打死1000號，把槍交到2號手上時，2號選擇向1號或3號開槍仍然完全隨機。

2.到最後只剩2人時，則此輪槍在誰手裡，就直接向對方開槍。

1. 對稱，1001-n與1+n出列概率相等。

2. 遞減，離1的實際距離越遠，越安全。

所以存活概率最大的是501號。

編程驗證概率密度分布如下：

對應MATLAB代碼如下：

L = 1000;

times = 1000000;

count = zeros(L,1);

for ii = 1:times

T = zeros(L,2);

T(:,1) = [2:L 1];

T(:,2) = [L 1:L-1];

GunHolder = 1;

Rand = 2*randi(2,L-1,1)-3;

for jj = 1:L-2

if Rand(jj)&>0

T(GunHolder,1) = T(T(GunHolder,1),1);

T(T(GunHolder,1),2) = GunHolder;

GunHolder = T(GunHolder,2);

else

T(GunHolder,2) = T(T(GunHolder,2),2);

T(T(GunHolder,2),1) = GunHolder;

GunHolder = T(GunHolder,1);

end

end

count(GunHolder) = count(GunHolder)+1;

end

plot(1:L,count/times);

我們試圖找規律---

1:1
2:1,0
3:0,1/2,1/2
4:1/2,0,1/2,0
5:0,1/4,1/4,1/4,1/4
6:1/4,0,1/4,1/4,1/4,0
7:0,1/8,1/8,1/4,1/4,1/8,1/8
......
從2個人開始，
偶數人時持槍者相鄰的人毫無希望;
奇數人時持槍者自己毫無希望。
而從7開始，已經呈現出「離槍越遠越安全」的趨勢。
我們接下來再推幾步。其中概率用最簡整數比表示。括弧內數字表示分母。
8:2,0,2,3,4,3,2,0(16)
9:0,2,2,5,7,7,5,2,2(32)
10:4,0,4,7,12,14,12,7,4,0(64)

歸納可以得到，離槍越遠越安全。

因此501號勝率最高。

而且可以直觀看到的是，持槍者在下一回合會有50%被打死;沒被打死的50%下又拿回了槍，也就是說「槍」是一個每兩回合生存率減半的道具。

於是我們最先得出的是，
1號生存率 1/2^499
2號生存率 0
1000號生存率 0

每個人的處境可以用一個數對(a,b)表示，其中a和b分別是兩個方向距離持槍者的人數。比如開局300號的狀態是(298，700)。

當兩個數字都不小於1的時候，自己離硝煙還遠，事不關己高高掛起。至於人數上的變化，可以看作是隨機的某一邊少了一個人，也就是50%變成(a,b-1)或者(a-1,b)。

當有一個數字變成了0，就會發現
1.一個壞消息:下一回合自己就有50%概率gg啦
2.一個好消息:你沒中槍，並永久獲得道具「槍」
3.一個壞消息:這個道具具有負面效果
4.一個好消息:你的勝率可計算了
5.一個壞消息:如果當前人數是奇數，可以獲得稱號「有些人活著，(他已經死了)」
6.一個好消息:當前人數是偶數
7.一個壞消息:這個勝率還是太小了。。

當(a,0)時，如果a是偶數則gg，如果a是奇數=2k+1則勝率為2^(-k-1)。

個人感覺應該找不到一個現成的分布來計算對應的概率。取n=20，模擬結果如下(使用Mathematica進行模擬）

使用Mathematica中內置的機器學習方法來找一個最靠近此數據分布的概率密度函數：

然而，分開看這20個位置的概率，分別如下：

可以發現1號旁邊兩個人是不可能存活的。以4人為例考慮，1打死旁邊1人，把槍給了另一人，另一人無論打死誰，都會把槍給另外一人，從而最後被打死。

因此這個分布是畸形的，如果去掉1是最後死的情況，那麼確實有點像是二項分布。然而，不管是什麼分布，當n足夠大時，最終都會收斂到正態分布，這點也可以通過模擬得到驗證。最終，存活概率最大的，依然是距離1最遠的那個，即n/2+1。

1. 存活下來的概率是左右對稱的，也就是說2和n存活的概率一樣，3和n-1一樣，以此類推。

2. 對於任何一個玩家，從第一次持槍開始，每經過兩輪，存活的概率減少50%。比如說1號玩家，第0輪活著的概率是1，第二輪活著的概率是1/2，第四輪活著的概率是1/4。。。當這個999輪的遊戲結束時，1號玩家活著的概率為（1/2）^499。

3. 在槍傳到相鄰的玩家手裡之前，你永遠是安全的。

4. 501 從左手起，距離1號玩家500個位置，從右手起同樣是500個位置，是場上里第0輪持槍的1號玩家最遠的玩家，平均來看，需要花最多的輪數，槍才可以傳遞到501號玩家手中。

5. 如果槍在傳到501號玩家手中之前，501號玩家就死了，只能是他的相鄰兩名玩家在上一輪第一次持槍了，這時，501號玩家存活（本輪持槍）的概率=死亡的概率=50%，假設他的左鄰或者右鄰在上一輪第一次持槍的情況下。

6. 所以一名玩家要想存活的概率越高，即那麼槍傳到他手裡的平均時間要儘可能的長，且槍傳到他左右相鄰玩家的平均時間也是越長越好。