平面幾何添加輔助線證明的原理到底是什麼？

12-03

給一幅圖和條件，所有的結論按說都已經具備，剩下的就是從圖和條件出發進行推導得到結論，但是有的時候必須添加輔助線才可以證明，這是為什麼？輔助線在證明過程中起到什麼樣的作用？為什麼非添輔助線不可呢？

上面回答都對。但還不到點子上。題主說的是為什麼必須添加輔助線不可，顯然他問的是為什麼需要使用輔助線來克服障礙達成結論，即他已經意識到有障礙了，問題是這種障礙為什麼存在。
那麼，實際是這樣的，我們知道，幾何學是一個公理系統。從最初挑選的幾條公理，加上概念和圖形定義，最後可以推導出各式各樣的命題。對於平面幾何，最基礎的圖形就是平行線，三角形。所以在這個體系中我們可以獲得大量的定理。稍微複雜一點的圖形呢？比如三角形的組合，四邊形，我們知道的定理就要少一些。但是是不是這些圖形就沒有那麼多定理呢？不是的，因為這些圖形較為複雜，所以它們相關的結論也更多，而且更為複雜，而且由於其圖形並不普遍，所以把這些結論作為定理來作為進一步推導的根據是很不划算的做法。所以一般我們對這些複雜的圖形，就只記住幾個簡單的定理，而不是全部。那麼實際上問題就在這裡了。如果你把這些針對複雜問題的一些定理記住了，那麼不需要添加輔助線，就可以解決問題。但是考慮到這樣的定理本身結論很複雜，普適性差。所以記住這些是一個得不償失的辦法。最簡單的就是只記住簡單圖形的定理，然後通過輔助線把複雜圖形簡單化，從而把問題調整到我們可控範圍之內。

畫輔助線可以釋放已知條件。

平面幾何的輔助線，其實是解析幾何中某種代數運算的幾何表現。平面幾何的證明不是系統性制度化的，做輔助線其實是需要智商和天賦的。靠天賦和智商迅速得到數值解，這在一定歷史條件下是非常有用的，而數學追求的是長遠目標，是可以重複使用的解析解，這就是數學的偉大之處。讓普通人也能像天才一樣思考，讓天才將他們的智商用到更加困難的問題上去。

我想試著回答一下題主這個問題。首先明確一下什麼叫解題。就我的理解而言，解題的過程其實就是溝通條件和結論的一個過程。
比方說，你現在站在A地，要去B地，這裡你站的A地就叫「條件」，要去B地就叫「結論」，那麼解題的過程也就是要回答：怎麼過去？事實上這個比喻也可以回答為什麼你做的幾何題往往會有一題多解，並且不同解法的難易程度為什麼會有不同。
從A地到B地，可能有好多種方式可以走過去。如果A地和B地之間有一座山的話，那麼你可以選擇硬翻過去；如果A地和B地之間有一座山，但是還有一條筆直的馬路，那你肯定走馬路比較方便；如果你有一架飛機，那麼你可以直接從A地飛到B地了。
在這個過程里，從A地和B地之間可以翻山、可以走馬路、可以坐飛機，所以有一題多解；但是這三種方式難易程度不一樣，所以不同解法會有不同的難易程度，走馬路是普通解法，做飛機是文藝解法，翻山是。。。你懂的= =。但是有的時候選擇卻沒那麼多，如果A地和B地分別是兩個星球，那麼你就只能坐太空飛船硬飛過去了，沒得選。

其次，為什麼要添加輔助線。
還是用上面的比喻，現在你還是要從A地去B地。但是現在A地和B地之間有很多障礙了，先有一座山，然後是一條河，最後是一條路，翻過山越過河再走走路你就能到了。那輔助線是什麼？輔助線就是對問題的一種分劃，它能讓你看清這個問題能分解成一些怎樣的小問題或子問題。
你先作了一條輔助線，然後你就知道，哦，我應該先翻一座山，然後再作一條輔助線，哦，我應該再過一條河，然後再作一條輔助線，哇，再走走路我就到了。就再這個過程中，你一步步接近了目標。
這裡要順便提一下的是，我們一般分析問題，有兩種常用方法：綜合法和分析法。還是用上面的比喻。
綜合法的過程是，從條件一步一步慢慢接近結論。也就是你從A地一點一點去接近B地：你先翻了座山，離B地近了些；你又過了條河，又離B地進了一些；最後你走了走路，終於到了B地。
分析法的過程是，從結論一步一步來尋找條件。也就是你現在想到B地，於是你說我只要能到路口沿著路走我就能走到B地了；然後你又想怎麼才能到路口呢，於是你說我只要能到河邊然後過了河就是路口了；然後你又想怎麼才能到河邊呢，於是你說我從A地翻過山就到河邊了。
在綜合法或分析法的過程中，你會有靈感的構造一些輔助線來幫助你接近目的地。這裡輔助線的構造方法當然不可能絕對明顯或者一眼就能看出來，否則題目都那麼簡單了，而且構造的動機裡面有很多說頭。但是大多數的輔助線構造還是不難想到的。
關於為什麼要添加輔助線，動機是什麼等等問題，我有好多想說的，應該可以說清楚的，但是真的打字好累啊= =

最後，為什麼非添輔助線不可呢。
我可沒說輔助線非添不可啊。你說不添輔助線做不出來，那你因為你沒有飛機，有飛機了你可以什麼都不要直接飛到B地。那麼什麼是飛機？那就是你的解題工具的多少，你學的理論越多，所用來解題的手段就會越高明，可能你覺得要N條輔助線才能解決的幾何題，數學家用更高深的理論一眼就看出來答案了。所以輔助線沒有什麼非添不可，但是在你目前知識水平的限制下，你得添加一些輔助線來幫你解決這個問題。

先講一個故事，高中我們學完立體幾何，要考試，第一次我倔強地不使用任何空間向量的知識，全用輔助線做題，結果考試結束（2小時），我還差3道大題沒做完。第二次考試，我全用空間向量來做，結果1個小時就把所有題做完了。
當然立體幾何的難度普遍要低一點，不太有可比性，我記得高中奧賽，有道平面幾何題，我看了半天沒頭緒，直接建坐標系強算，終於將一個6次多項式分解因式後，成功通過其中一個因子證明了題目的結論。
沒錯，原則上只要能建坐標系（不管是直角還是放射的），把所有點都定下來，然後動點就用未知數表示，所有的幾何問題都能轉化為代數問題。
但是問題來了，在學平面幾何的時候，這種技能是被禁止的，好比有個數控機床在你面前，卻非要你用銼刀。為什麼？
第一，這是為了訓練思維，銼刀都用不好，敢讓你動機床？
第二，有些東西太簡單，開機床、預熱、調試那些時間，銼刀早就搞定了。
由於我們不能使用內積求夾角，所以必須畫完三角形來證全等，或者上餘弦定理；
由於我們不能使用內積開方求長度，所以必須畫三角形證全等，或者補完兩條邊證明是平行四邊形；
由於我們不能直接求出兩條直線交點的坐標，所以我們必須假定第三條直線過這個交點，再反過來說明這條直線滿足題目要求的性質。

所有不問是不是就問為什麼的問題都是耍流氓.
輔助線是類似那種"四則巧算"之類的抖機靈的玩意,高等一點的幾何分支中從來不添輔助線
沒有輔助線當然可以了.

高觀點地看相當於空間提升

添加輔助線再進行相當於證明幾個引理再證明結論。

支持 @真我的回答
這其實屬於邏輯學問題，也是沒學過邏輯學無數初高中生困惑的問題。
歐式平面幾何是什麼？
它是在歐幾里得的公理化的幾何圖形的性質系統上推出的一系列命題，如果沒有公理，也就沒有這些命題。（笛沙格定理也不例外，他屬於射影幾何的定理，可以由二維公理導出，也可以由想成三維中的立體圖形來證明）
歐式平面幾何的基礎是什麼？
歐式平面幾何的基礎是"能夠在公理體系上用尺規作圖做出來的圖形"（公理體系和尺規作圖可以證明是等價的，詳見幾何原本）
眾所周知，尺規作圖是一個很麻煩的事，會畫出很多多餘的線，歐幾里得在原本中給出了我們日常所作那些圖的尺規作法，所以我們才能不用每次都很麻煩的用尺規作出那些圖。（而這些學校都不會教給我們，因為不考，這是中國當前教育很low的一點，不給我們知識，還要我們高分）
問題來了，那麼多線，全畫出來，圖不亂死了，所以，我們就把一些不影響看題的線隱去了。
所以，下面我們給出輔助線的不怎麼嚴格的定義
輔助線：在尺規作圖中，不影響構圖，而被隱去的線。也可以叫做"輔助構圖線"。為了證明命題而補充上輔助線的過程，稱為"補充輔助線"。
下面問題又來了，為什麼一個題，會有幾種不同的補充輔助線解法呢？
在幾何平面上，我們知道每一個點都會有他的位置，我們稱"具有性質特徵的點"為"定點"，可任意選取的點為不定點
怎麼把這一個個點的性質變成結論的方法，也就是補充(部分)輔助線的方法，也是應用推論的不同。
比如一個題，你畫一種輔助線可以用全等，另一種卻可以用面積法。建系永遠只要xy軸兩條輔助線，卻很麻煩。
但要知道的是，這些方法，都基於歐式公理。
同時我們可以知道，如果一個圖沒有用輔助線就能畫出，那它一定可以不用輔助線（直路但是難走）證明，也可以用輔助線（彎路但是好走）證明。

寫給自己看的，大家如有不懂，可以私信我，有空會回。感謝各位

一句話解釋，就是構造出從未知到已知的橋樑。

就像一個人突然在街上凌空飛起，乍看之下不明所以。如果你留意到他身上的鋼絲，那就能解釋了。你知道鋼絲限制了他的運動，而且只要了解鋼絲的運作，就能判斷人的運動軌跡。

我不懂深層次的原因。但是我有個合理的解釋。
我們可以吧一個圖形看作是一個無限複雜的圖形隱去無數條線的結果，而輔助線只不過是讓隱藏了的線再次顯現而已。

初中階段歐氏幾何關於計算的部分工具太少, 添加輔助線可以簡化不少計算.

在有三角函數/解析幾何工具之後, 純代數運算就可以證明所有歐氏幾何題, 只是計算可能比添加輔助線還複雜, 但計算是系統性, 甚至可以機械化.

其實沒有什麼幾何問題是不通過輔助線證明出來的。
即使你看上去沒用到輔助線的問題，也實際上是通過一些添加輔助線證明的引理推導出來的。
一些人提到了建系證明，那你建立的x軸和y軸算不算輔助線呢？點的坐標是通過點向x軸、y軸作垂線截得的線段得到的，那這兩條垂線算不算輔助線呢？