此圖像的參數方程應該是什麼？

12-03

你這個圖畫得有點兒歪，那就恕我把坐標系也歪著建了。

觀察圖中從A到B的這一段。從彎曲程度來看比較像橢圓，只不過它轉過的角度不是半圈，而是5/8圈。

從維基百科上查到橢圓的極坐標方程是 $r = frac{b}{sqrt{1 - varepsilon^2 cos^2 heta}}$ ，其中 $b$ 為半短軸， $varepsilon$ 為離心率。

若要把橢圓改成你的圖，要減慢 $r$ 隨 $heta$ 的變化頻率。原先 $heta$ 轉半圈， $r$ 就完成了一次由最大到最小再到最大的變化過程；而現在，要讓 $heta$ 轉5/8圈， $r$ 才完成一次這樣的變化過程。於是需要給 $heta$ 乘上一個係數4/5。

不妨取 $b=1$ 。調整離心率，發現 $varepsilon = 0.95$ 時圖形比較像你給的圖。
於是圖形的極坐標方程就是： $r = frac{1}{sqrt{1 - 0.95^2 cdot cos^2(0.8 heta)}}$

什麼？你說這不是參數方程？把 $heta$ 看成參數就好了嘛。

據我的觀察，我覺得更應該像是內旋輪線的一種，其參數方程一般如下表示

$egin{cases} x=h cos ( heta -m heta )+l cos (m heta )\ y=l sin (m heta )-h sin ( heta -m heta ) end{cases}$

然後經過我的蜜汁調參，得到一個比較近似的方程圖象：

有多近似呢，在AI裡面擬合一下：

誤差肯定是有的，如果線條加粗一些也許能掩蓋一些誤差，下面是蜜汁參數方程。

$egin{cases} x=17.9 cos ( heta -frac{3}{8} heta )+9 cos (frac{3}{8} heta )\ y=9 sin (frac{3}{8} heta )-17.9 sin ( heta -frac{3}{8} heta ) end{cases}$

其中 $m=frac{3}{8}$ 這個參數尤為重要，根據內旋輪線的性質，當 $m=frac{p}{q}$ 為一個不可約的有理數的時候， $q$ 的數值是擺線的瓣數，因此 $q$ 選擇了 $8$ ，那麼為什麼 $p=3$ 呢，因為這是蜜(hu)汁(luan)調(tiao)參(can)，總體而言就是 $p=3$ 時，方程圖像更接近一些，剩下的就是隨意調的參數了。

當然肯定存在其他更優的參數或者方程，不過目前這個方程也湊合可以用了。

調參用到的Mathematica代碼：

Manipulate[ ParametricPlot[{l Cos[m [Theta]] + h Cos[[Theta] - m [Theta]], l Sin[m [Theta]] - h Sin[[Theta] - m [Theta]]}, {[Theta], 0, 20 Pi}, PlotStyle -&> {Red, Thick}, Axes -&> False], {l, 0, 100}, {h, 0, 100}, {m, 0, 10}]

其實就是拖著控制項瞎調的。

用廣義相對論計算水星的軌道時就會出現這種解，極坐標形式的方程其他人的答案已經給出了。這種曲線可以近似看作是一個進動的橢圓。這就是大名鼎鼎的水星的近日點進動問題。

從極坐標 $r = cos a heta$ 出發，此處 $a$ 是有理數，否則螺旋繞不回原處。