正17邊形裡面包含著什麼秘密？

正17邊形是一個古老的數學難題，高斯在19歲時用尺規作出了它。據說正17邊形里包含了世界本源的秘密。是什麼呢？

用尺規作出一個半徑為 1 的正多邊形, 需要能作出它的邊長的長度, 這等價於它的邊長為有理數域的某個二次擴域鏈中的代數數 (想想看, 這無非是求解圓和直線的方程組).

可以證明正 P=1+2^2^n (P 為素數) 邊形的邊長一定滿足. 實際上這是一個充要條件, 叫Gauss-Wentzel theorem.

充分性我沒找到完整版的證明, 你試試找Gauss的原著(德語)看看, 關於正 P=17 (即 n=2) 邊形這個特殊情形的證明, 可以參見 http://www.math.iastate.edu/thesisarchive/MSM/EekhoffMSMSS07.pdf

必要性簡單一些, 可通過分圓多項式的不可約性(通過Eisenstein判別法得到)來得到, 見http://www.math.uiuc.edu/~rotman/ruler.pdf

正 17 邊形具體的構造方法和如何將它的邊的長度表示為(不唯一)對有限個有理數進行有限次加減乘除開根號有關, 一個具體的這樣的表達的例子可參見wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon