平行的鐵軌，在人眼看來卻似乎是相交的。任選坐標系，求人眼中2條相交鐵軌的方程？

12-03

由於近大遠小，人眼中的平行鐵軌看起來像是相交的2條直線。根據定理：同一平面內，2條不平行的直線必定相交，無限遠的鐵軌在我們看來，應該有一個交點，交點後面的鐵軌又互相分開。
然而不論鐵軌有多遠，實際上他們都是平行的，也就是說，在人眼中即使再遠的鐵軌，它們只能是重合，不可能交叉。
我只找到了這個矛盾的一個解決方法：人眼中的鐵軌可能不是直線？
望大神解答。
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更新:
不需要考慮地球是圓的這個問題假設鐵軌無線長且地面是平的

首先，題主你有一個假設是錯誤的：「無限遠的鐵軌在我們看來，應該有一個交點，交點後面的鐵軌又互相分開」。

這個錯誤很明顯：既然你已經說了是「無限遠」，那麼就不存在比無限遠更遠的距離。就像數學中的定義一樣，無限大是一個概念，並不是一個具體的數，是不能簡單地比較大小的。

事實上，假設我們的視野可以看到無限遠而沒有遮擋，那麼我們視野中的每一個點，只代表著我們視線的方向。我畫個簡單一點的草圖：

A點為你所在的位置，l1與l2為平行的兩條鐵軌，在平面上向左側無限延伸。X1、X2與Y1、Y2分別是鐵軌上等距的兩點（線段X1X2與Y1Y2均垂直於兩條鐵軌）。那麼在我們眼中，很明顯就是距離我們近的X1X2更大，Y1Y2更小。這主要反映在它們在我們視野內形成的夾角上：

這也就是為什麼鐵軌距離我們越遠，我們看上去兩條鐵軌越近的原因。當這個距離大到一定程度時，這個夾角將會低於我們肉眼的解析度，此時在我們看來，兩條鐵軌就相交於「1點」了。當然在這之後，距離繼續延伸，夾角仍然會繼續縮小，但是只會越來越趨向0度，而不會變成負的。因為l1上面的點不可能跑到l2下面，因此在我們眼中它們仍然還是「1點」，而不會是像題主所說的「相互分開」。我建個坐標系用定量的方式來說明一下吧：

以我們所在的A點為原點，以平行於鐵軌的方向為x軸，垂直於鐵軌的方向為y軸。設兩鐵軌間距為1，較近的鐵軌到我們的距離為d1。設X1與X2在水平方向上與我們的距離為m。那麼我們視野中兩鐵軌之間的距離（夾角）與鐵軌離我們遠近（m）的關係為：

$alpha=arcsin(frac{d1+1}{m})-arcsin(frac{d1}{m})$

很明顯，當m&>0時， $arcsin(frac{d1+1}{m})>arcsin(frac{d1}{m})$ ，即該式是大於零的，即理論上平行鐵軌在解析度無窮大的視野中也是不相交的。但是當 $m oinfty$ 時， $arcsin(frac{d1+1}{m})=arcsin(frac{d1}{m})=0$ 。這也就是當鐵軌遠到一定程度之後，它們會在我們的視野當中匯聚於一點。但即使再遠，也只會在那一點，而不會分開。

P.S. 我認為，題主有這樣一個疑問，最大的原因是來自於，三維空間的直線，在我們二維視野中並不一定是直線。當我們沒有站在直線上，沿著直線的方向看的時候，它在我們的視野中是一條射線。而這個射線的起點，代表的就是我們看的方向，即直線延伸的方向。舉個例子，當我們的A點處於這樣一個場景當中時：

我們視野裡面是這樣一個場景（假設我們是有一定高度的）：

之所以鐵軌再怎麼延伸，也不會超過那個點，我們再回到先前那個坐標系中。以直線l2為例：當水平距離為m時，單位長度的鐵軌在我們視野中的角度是 $arcsinfrac{d1}{m}-arcsinfrac{d1}{m+1}$ 。我們知道，當 $heta o0$ 時， $sin hetaapprox heta$ 。即當m很大時， $arcsinfrac{d1}{m}-arcsinfrac{d1}{m+1}approxfrac{d1}{m}-frac{d1}{m+1}$ 。而 $frac{d1}{m}-frac{d1}{m+1}=d1frac{1}{m^2+m}leq d1frac{1}{m^2}$ 。而這個數列： $sum_{i=1}^{infty}frac{1}{i^2}$ 是收斂的，等於 $frac{pi^2}{6}$ 。這說明在我們視野中，無限長的鐵軌的投影長度也是收斂的。它們仍然是「直」的，但是不夠「長」了（為什麼感覺這麼污啊啊啊），所以「只能重合，不能相交」（還是好污啊啊啊）。

P.P.S. 個人感覺最後一步的證明裡不是特別的嚴謹。但是基本上是這個意思吧。放一張剛拍的圖（凡是朝著同一個方向延伸的直線，最終都會匯聚到一個點上。這就是我所說的當距離無限遠時，視野內的點代表的是方向的意思）：

P.P.P.S. 這就是一個簡單的三維空間到二維平面的映射問題，實在搞不懂為什麼有些人會搞出什麼非歐幾何來。吐個嘈而已，無他。

以上

首先更正一下題主關於無限遠的理解：

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假設1: 有某個距離x滿足：任取一個距離y，x都大於y。

假設2: 在比x更遠的地方有一個y1...

等等！！！

不是說任取一個y都有x&>y么，那我現在取y=y1。

所以，根據假設1，x&>y1，而根據假設2，y1&>x。所以兩個假設是不能共存的。

假設1中的x就是通常對無限遠的定義。這樣一來，在無限遠處x相交，也就意味著你不肯能取到比x更大的距離y，否則假設1就不成立，x就不是無限遠。

所以從定義上來說，你不可能取到無限遠，或者比其更遠的距離。

無限遠處相交，其實就是不交。

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其次，固定視角中無限長的鐵軌的確不是直線，而是射線。

你朝著平行鐵軌的方向望去，看到這個射線的」端點「，其實就是無限遠處的鐵軌。

在三維空間中，不管你把鐵軌延長多少，在你眼中它也只是極限的逼近這個「端點「而已。永遠不可能達到，更不可能越過。

你之所以會想要把這個端點再往後延長，這是因為人眼看到的是二維靜態圖像，只是三維空間的一個投影。

當然，你可以在二維世界中假想鐵軌越過端點延伸，但在三維空間中你是找不到真實的鐵軌來對應這個投影的。

找本計算機圖形學方面的書，了解一下透視投影矩陣和視口投影矩陣。空間中的倆條平行線，經過這倆個矩陣的變換後，可以在顯示器上相交。把顯示器當成人眼，一切就想通了。
人眼中的平行鐵軌不是直線，而是線段，它有邊界。

在射影幾何中，一個平面上的無窮遠點構成無窮遠直線。

地面上的無窮遠直線，就相當於你眼睛裡的地平線。（當然嚴格講還是有點差異，地面上的平行線，跟無窮遠直線的交點應當被看作一個點。也就是說，你前方的地平線，和你背後的地平線，是重複的。）

是直線，會相交，相交於三維笛卡爾坐標系中的無窮遠處，對應著視覺中二維球面坐標系中的正前方。交點之後再延長的射線對應著頭頂正上方的鏡像鐵軌。

鐵軌還是直線，但是你看不到交點，交點在無窮遠處。不存在交點後面又分岔的現象。就這麼簡單。

我們不考慮兩條平行線，而是一系列垂直於這兩條平行線的短平行線（比如一段長直鐵軌的枕木）
人的眼睛，本質是凸透鏡成像，而對於垂直於主軸的物體的凸透鏡透鏡成像有
L=f/(u-f) *l，其中，L是像的長度，l是物的長度，f是凸透鏡焦距，u是物距。
而對於這個問題，f,l都是不變的，而隨著u的增加，L減小，也就是說，短平行線離你的眼睛（凸透鏡）越遠，像越小，你看到的線也就越短。（這也是「近大遠小」問題的光學本質）
而當u趨近於無窮，L趨近於0，其結果就是在無窮遠，兩段平行線看起來會相交。

因為你眼睛不夠用呀。瑞利判斷。

透視投影，3d遊戲基本都要用到

簡單的說透視投影不是線性變換

@好大的風的回答是正確的，人眼中的鐵軌的確是直線，並且在無窮;遠相交。我這裡用數學工具解釋一下

這個方程的含義是，位於人兩側的對稱位置的鐵軌，在無窮遠（也就是y趨近於無限大）時會相交於人視線的正前方（就是人的（0，0）位置）。而如果鐵軌所在的x不在1而在別的位置時，仍然相交此點。簡單理解就是實際上的無數條平行線（鐵軌）在人眼的映射下變為了經過原點無數條斜率不同的直線。

平地也有地平線

各位大佬的答案都看著不明覺厲，我這裡給一個初中生就能理解的低配版解釋。
公理：在視覺上，鐵軌越接近無窮遠就越接近相交。
模型：筆直鐵軌；
把無窮遠處的開口近似作為交點，所得角度與實際角度相差無窮小。

設身下的鐵軌寬a。

所以，你所認為的角度只是一個無窮小在無限變長的過程中開口越變越大，大到在你眼前變得可以感覺出來了，實際感覺和積分差不多。

光學問題。

假設你在其中一根鐵軌上看，該軌道是直的定為y軸。兩軌道視覺距離與距離成反比，設實際距離為a，則方程為x=a/y。即雙曲線。這只是一種假設鐵軌之間距離非常小的近似。實際情況更為複雜

有個東西
叫
開區間

鐵軌相交是心理學問題，與人類的認知有關。包括對距離的感知。最經典的問題就是英國人戴的top hat，帽沿的直徑和高度一樣時我們的喜歡感覺確是更高一點。

對著鐵軌拍個照，照片上建個坐標系，求兩條鐵軌路徑的表達式，這似乎是個攝影測量的問題
PS：人眼是中心投影，有畸變，確實不是直線

交點在無限遠的地方沒毛病啊！

只要找到比無限遠更遠的地方就好了

這幹嘛要邀請我，你都說無窮遠的鐵軌了，可人眼的觀測不是無窮的啊。這特么的不公平啊，所以公平起見，人眼的可視距離解析度必須也得假設成無窮大的才公平。
所以在所有假設公平的情況下，鐵軌在眼裡永遠是不會相交的。

有個領域叫非歐幾何