為什麼對任何 N，N 是兩個平方數的和 <=> N^3 也是兩個（其他）平方數的和？

12-03

N = x^2 + y^2 &<=&> N^3 = a^2 + b^2

N, x, y, a, b 都是正數integers（包括0和負數都可以）。

存在一對 (x,y)，也就必須存在一對 (a,b)
存在一對 (a,b)，一樣必須存在一對 (x,y)

如何證明？（兩個方向都需要證明吧）

-----

還有個升級版：

對於任何指定的正數 P, Q：
N = Px^2 + Qy^2 &<=&> N^3 = Pa^2 + Qb^2

比如
N = 2x^2 + 3y^2 &<=&> N^3 = 2a^2 + 3b^2

我們知道一個正整數 $N$ 能被寫成兩個平方數的和,當且僅當 $N$ 的質因數分解里所有形式如 $4m+3$ 的質數出現偶數次。ref. Which Numbers are the Sum of Two Squares?
運用這個結論我們發現 $N$ 能寫成兩個平方數的和當且僅當 $N^3$ 能。

。不知道對不對

反向的要不編程找反例吧