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x^n-1 的因式分解呈現規律, 求解釋？

12-02

本人高中生, 學習 Wolfram Mathmatica
學會一個命令，因式分解Factor，發現 x^n 分解好像呈現規律。
好奇問一下什麼情況, 如圖。

感覺5，7，11，13看著舒服, 覺得可能是因為質數。

又試了幾個大質數，比如2411。
結果很好符合預期。
想問一下其中的原因,感謝各位大神賜教！

$x^n-1=0$ 的解可以寫成 $sqrt[n]{1}$

在複數域中, $sqrt[n]{1}=e^{ k{frac {2ipi}{n}}},k inmathbb{Z}/[1,n]$

定義分圓多項式:

$Phi _{n}(x)=prod _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,n)=1}}left(x-e^{ k{frac {2ipi}{n}}} ight)$

為什麼叫分圓多項式呢...

因為單位根正好均分圓啊...

於是有:

$egin{align} x^{n}-1=prod _{1leqslant kleqslant n}left(x-e^{2ipi {frac {k}{n}}} ight)\ =prod _{dmid n}prod _{1leqslant kleqslant n atop gcd(k,n)=d}left(x-e^{2ipi {frac {k}{n}}} ight)\ =prod _{dmid n}Phi _{frac {n}{d}}(x)=prod _{dmid n}Phi _{d}(x)\ end{align}$

若 n 為質數,那麼因數只有1和n本身...

$x^{p}-1=Phi _{1}(x)Phi _{p}(x)$

$Phi _{1}(x)$ 當然是 $x-1$

素數的時候是:

$Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+cdots +x^{n-1}=sum _{k=0}^{n-1}x^{k}$

這個結論也可以用艾森斯坦判別法得到...

所以你發現的第二個規律是對的.

然後你發現的第一個規律就有意思了...

$x^{n}-1=prod _{dmid n}Phi _{d}(x)$

所以確實是和一個數的分解有關，有幾個因數就有幾個乘積。

數學家分析了前幾階的分圓多項式,發現都是這種形式

數學家剛開始也以為是這種樣子的....只有 $-1,0,1$

直到 $x^{105}-1$ 出現了個-2 ....接下來還有 $x^{385}-1$ 出現了三個-3

最後數學家發現其實任何係數都是會出現的...http://oeis.org/A013594

數論的鬼畜程度超乎想像....

分圓域和分圓多項式是數論中很重要的組成部分...

n次分圓域可以通過若干次的二次擴張得到, 那麼正n邊形就能尺規做出...

比較著名的就是高斯素數和高斯正十七邊形

後來高斯的想法發展為分圓域理論,

為了研究費馬大定理, 庫默爾引進了"理想(數)"的概念,作為對素數概念的改良。

二十世紀後,庫默爾關於分圓域的類數的同餘理論被日本數學家岩澤健吉推廣為岩澤理論。

後來懷爾斯對費馬大定理的證明不是有個漏洞嗎，就是用岩澤理論補上的。

(x^n-1)=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+x+1)
Moreover
n 是奇數的話
(X^n+1)=(x+1)(x^n-1-x^n-2+…+1)
(係數一正一負)

簡單的歸納法可證。

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