已知f(f(x))，在怎樣的條件下，可求f(x)？

12-02

這問題應該是要求 Functional square root／half iterate。按這個關鍵字找到一篇文章 [1]，我沒細讀，僅供參考。

[1] Iga, K. E. V. I. N. "Continuous half-iterates of functions." Manuscript. http://math.pepperdine.edu/kiga/Papers/halfiter.ps

強答一發，wiki里有一些通解，取n=2，反過來就可以了

@王贇 Maigo 提出來可以把 $n=frac{1}{2}$ 代到右邊就直接得到解了。。。(^o^)/~

想了一些。看到一些不太正確的答案。

1. 受 @王某魚評論啟發，先給一個解不存在的例子：

命題：如果g的真二周期點（即非不動點）只有一對，則不存在函數f使得f^2=g。
證明：反證。設g(a)=b, g(b)=a。假設存在這樣的f，則g(f(a))=f(b)，f(a)和f(b)也是g的一對真二周期點，且與ab不同，矛盾。
（即a, f(a), b, f(b)是f的一組真四周期點）

只有一對真二周期點的函數的例子，比如
g(x)=-x^3。

2. 如果要求f連續可微，則g=ff當然也連續可微。並且：對於g的任何一個不動點a，或者g"(a)非負，或者存在g的另一個不動點b使得g"(a)=g"(b)。
兩種情況分別對應a是f的不動點或二周期點的情形，證明也很簡單。
例子：g(x)=-x

之後想到什麼再補充。

這個問題想求一個通用的解法是很困難的

例如f(f(x)) = 0，其解可以是：
1) f(x) = 0
2) f(x) = x向上取整 - x向下取整
3) f(x) = 狄利克雷函數D(x)

D(x) = 0，當x為有理數
D(x) = 1，當x為無理數

這幾個解形態差異巨大，所以很難有通用的方法求解

已知：f(f(x))僅在0點取值1，其餘地方取值0，求f(x)？

答案是，這樣的f(x)不存在，為了證明這一點我們假設它存在，考慮f(0)的值。

若f(0)=0，則1=f(f(0))=f(0)=0，引起矛盾。

若f(0)≠0，則0=f(f(f(0)))=f(1)，於是f(0)=f(f(1))=0，引起矛盾。

上面這段證明說明了一個很重要，但卻不太顯然的事實：不是每個實函數g(x)都能寫成f(f(x))的形式。即使看上去很簡單的g(x)也不行。

以下問題可供大家思考：
1.如果g(x)是某個集A的特徵函數，且g(x)=f(f(x))，那麼A滿足什麼條件？
2.是否存在某個g(x)，它有無數種方式寫成f(f(x))的形式？

剛剛發現我的答案是 @孫鵬的答案的特例……
羞愧

題目漏條件了……已更改

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2017上海浦東一模有一道題

已知定義在N*上的單調遞增函數y=f(x)，對於任意n屬於N*，都有f(n)屬於N*，且f(f(n))=3n恆成立，則f(2017)-f(1999)=_________

解出這個函數的方法相當清奇

這個問題，自從看到，也想了好幾天。

結論：任何一個function R-&>R 都應該有無限多的 half-function／half-iterate R-&>R。

g(x) = f(f(x))，已知 g, 不知 f。

想一想：任意隨機制定的 f(A[0]) -&> B[0]，也都成啊。

根據條件來推理，也會產生完整無限大的 A[i],B[i] 空間。

A[1] = g(A[0]) = ff((A[0])) = f(B[0]) ： f(B[0]) -&> A[1] 就這麼定了

B[1] = g(B[0]) = f(f(B[0])) = f(A[1]) ：f(A[1]) -&> B[1] 也定了，等等。。。

推理下去，A2，A3 ... Ai 都定了， B2，B3 ... Bi 也都定了。

往回去也一樣：

A[-1] = g"(A[0]) = f"f"(A[0]) = f"(B[0]) : f(A[-1]) = B[0] ... etc...

往前往後，能形成這個絕對空間。接下來，如果著有這一串，也不存在任何邏輯矛盾。

（比方說，f(f(x)) = g(x) = x+3, 開始，我們隨機從 f(1) = 3 開始，這就形成 f ：... -&> -3 -&> -2 -&> 0 -&> 1 -&> 3 -&> 4 -&> 6 -&> 7 ...）

（而且你把這個 f 的若干個點以直線方式聯合起來，這個 f:R-&>R 也符合條件，g(x) = f(f(x)) = x+3，沒問題：這就已經有無效多half-function了）

可是，這裡所指定的只是一個序列：並不佔整個R-&>R。

再抽一個第一制定 g^x 空間之外的另一個元素，可以再生成那個外一組，所以各維度的自由）

可以無限進行這種隨機選擇，也都是 g 的 half-function。如果 g 是 linear 的話，那可以隨便停掉，以直線連起來，變成新的f。也都符合f(f(x)) = g(x)。

（轉換成幾何角度，那就是把 x -&> g(x)，和 x -&> x 都畫出來，然後隨機選擇一個點，以橫豎方式在兩個曲線之間求一系列的長方形。正方形另外兩個點就是f。再制定更多隨機點，無所謂，反正都能連起來）

要求 f continuous，如果 g continuous，那絕對存在這麼無限多個 f 函數。更具這種方式。

要求 f diffentiable，那就不一樣了，可能需要指定無限多的點才行。把每一段不斷地拆開兩半，漸漸接近每一斷的比例一樣。但是你每次都可以選一個拆分點，所以業務線多個選擇。

（好吧，到這裡可能很多人看不懂了，也不夠嚴格。但是你看每次指定新的隨機 f:x -&> ? 的一點，是不是很容易可以滿足 differentiable 之類的的微積條件的，不斷地把兩邊比例調成一致）

如果 g 是更複雜的函數，不linear，那就需要選擇更多點，甚至無限多個點。一樣能按照順序滿足（接近）條件，也很自由。反正無限多。

（後來去看了half-iterate的維基百科，瀏覽到了 half-exponential 的頁面，結果就是如此。比如g(x) = e^x 的 half-iterate，確實有無限多的選擇；隨便分成一段一段的都行，而且只是一種方法而已）

g(x) = f(f(x)), 求f；f 的可能函數是無限多的，也都符合條件，但很多時候都難以直接簡單表達 f。只是各種 f 存在而已。放到 g^(1/4) quarter-iterate 等等，也完全一樣了。

【為了舉個多簡答的例子：求 g(x) = 4x + 9; f1(x) = 2x + 3 和 f2(x) = - 9 - 2x，那麼 f2(f2(x)) = 4x + 9 = f1(f1(x))，但真不止這兩個。。。】

【也可以向成一種kernel方式吧；比如 g(x) = 0, 我們可以指定f(x) = 0。但是也可以指定f(x)在某個區間映射到另外一個獨立區間，f(f(x)) 仍然都是 0。忽略其他條件，無論 g 什麼函數，我們永遠都是有這種自由的】

謝邀。
別的情況我不大清楚，但在我的知識範圍里可以求的有以下四種情況。
（1）可以通過直接觀察得出結論的；
（2）f(x)明確表示是一個多項式的，此時可以通過待定係數法求出；
（3）有一個函數方程來輔助的；
（4）定義域和值域均為整數域，並且有一些不等式來輔助的，此時可以用整數的離散性來解決。
希望對題主有幫助。

其實我想說，無論什麼情況都可以求啊。

有的答案裡面寫有些情況有F^2(x)沒有F(x)，無解難道不能求么，就是求出來無解啊

空集也是解集的一種咯

其他好多人的答案裡面寫著，嗯，有很多解，很多解難道不是解？非要唯一解么？

解集裡面有很多解咯

我來提供一種通用方法解決這道題目

題：f(f(x))=y(x)，(y(x)代表f(f(x))的一種表達形式，因為題目沒有寫出這些信息，我就用y(x)表示了，且y(x)是題目給定的，恆定不變的)，求f(x)的解析式或其他表達形式（注意到函數不一定有解析式，所以可能用其他表達形式）
解：設 f(x)解析式的所有解組成的集合是A
A={f(x)|f(f(x))=y(x)}
解完了，哇哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

第一反應是先考慮下這個方程:f(f(x))=g(x)=x.
這種情況下，f(x)至少有兩個解:f(x)=x.f(x)=-x.還有沒有別的解暫時沒想。但這至少意味著任何形式的g(x)都對應著兩個以上的f(x)，而不會有唯一解。

看了 @王某魚的回答，想到了一個結論：對任意的n≧2，都存在g，使得g不是任意一個函數的n次迭代。
首先證明這樣一件事：若g(x)=x，且對任意的y≠x，g(y)≠x，那麼若g是f的n次迭代，則f(x)=x。
證明：若f(x)≠x，可以歸納證明若f^k(x)≠x，則f^(k+1)(x)≠x，從而x=g(x)=f^n(x)≠x，矛盾！
從而，如果我們取一個g，g為{1，2，……n}到{1，2，……n}上的雙射，且不存在f，g=f^n，之後取h使h在{1,2…n}以外是恆同映射，在{1，……n}上是g，那麼h就不是n次方的形式，矛盾。

大家先把f（x）是什麼弄清好吧。百度百科：給定一個數集A,，對A施加對應法則 f，記作f（A），得到另一數集B，也就是B=f（A）。那麼這個關係式就叫函數關係式，簡稱函數。函數概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應法則f。其中核心是對應法則f。也就是你們再求一個沒有規定的法則f定義域，而不是去自己代入一個規定的法則去代入。

這個問題叫做疊函數問題非常蛋疼無力作答貼幾個傳送門吧....

half iterate of $x^2+c$

Iterated function

f(f(x))=x^2+x，如何求 f(x)？

我在其它地方的答案：這很基礎啊. 注意這個函數單調性質，不一定連續. f>=3n 這句話的意思是f的值域是定義域的子集，比如f=g, 凡是長3n這個樣子的數，都存在一個整數g 使得f(g)=3n; g自然是f的值域. 那這樣給定一個自然數我們已經知道3n也是f的值域，我們有兩個思路：把n表示成f的值域就可以脫掉一個映射；好了如果n是3的倍數，n=3m 存在 k n=f(k) 我們有fff=3n 但是ff=3k 啊於是有 f<3k>=3f 這不是不知道自變數取值範圍的遞推公式么？它說這種情況下是線性的. 如果n 是3m+1,存在k, f+1=n 或者說 f = n - 1 < n，想想單調性放在這裡都是讓你去放縮用的；於是 ff < f 於是 f<3k> < 3f < f<3+3k>, 我們需要確定k的取值範圍. 3的倍數自然可以，如果不是呢？這個過程非常像把10進位數用3進位表示. 如果您用3進位表示sum 3^i ai，並利用上面的不等式，很快得到 3^q * f(a_q) <= f(n) <= 3^q * f(a_q+1) 其中q = log_3(n) 的整數部分. 因為 a_q是最高位只能取1，2 ok 我們算算 f(1) <= f(2) <= f(3) = f(1) 這樣就夾逼出來了. 其它人的答案都是錯的

小學生表示：單增。

如果單純只知道f(f(x))的信息，應該是任何條件都無法求出f(x)的。

（不知道「定義在域上」這個說法是否正確，也許說「f(f(x))在G上封閉」什麼的更好？學校教抽象代數用的是英文，然後我也記得不是特別牢了233）

（話說萬一遇到H=H^∞的情況就杯具了。。。但是，笛卡兒積有能自反的情況么？如果能的話。。。可以搞個利用冪集的證明出來，然而這下又無法證明冪集是否有能自反的情況了，遇到H=2^H的情況還是會跪233雖然沒記錯的話用反證法是可以證明集合元素個數可數的時候是不存在這種情況的了，但是，萬一集合元素個數不可數呢233）

畫圖
把fx當一個變數分段討論
最終解出x

大套路就是這個啦

補充一個若f（f（x））＝x∧2，則f（x）＝x∧√（2）顯然是其一個特解。
是否可以通過以前用微分倒推積分的模式，用f(x)來推出f（f（x））？
比如f（x）＝x，則f（f（x））＝x
f（x）＝ax＋b，則f（f（x））＝a∧2?x＋ab＋b
……
對多項式函數可以通過類似的窮舉法把係數湊出來可以倒推的形式，至於三角函數與對數函數的多重嵌套，這個應該靜等大神來回答。

很多種情況的，題注得先說明f(f(x))的具體函數式呀

這是啥？這又是啥？

f(f(f(x)))=x？
f(2n+1)(x)=x?

如果存在g，使g(f(2))=f，則f可求。
如果f可求，即在某條件下，f(2)可唯一對應到f，即存在g，使g(f(2))=f。此條件與g(f(2))=f等價。
所以任何條件都等價於一個g，使g(f(2))=f。

因為沒有題給條件，我是這麼想的：
假設f（X）是二次函數，你可以先列出通式，f（X）=kx+b?f（f（X））=k（kx+b）+b ，然後與題給的f（f（X））等式對比，二項式係數與另一個二項式對比，常數項與常數項對比，然後可以求得未知數的解。
是學渣....所以...答錯了請多包涵

同意 @張同志（太多了我真不知道圈哪個）

我也這個思路，對f（x）作多項式近似，求多項式係數。

三角函數，對數函數等，可以近似在x0點作泰勒展開吧，基底數與模擬點數一致，取點必須在某點附近集中，再求非線性代數方程得到係數，應該可以模擬f（x）在一個點x0附近函數的多項式展開了。離得遠了就沒什麼辦法了。

取多少基底怎麼取只能瞎猜了

至於其它點可能沒什麼好辦法，也許模擬（x-x0）為基底的展開多項式是一種思路

其實問題在於裡面如果存在不怎麼正常的函數怎麼辦，比如有人提到狄拉克函數，取整函數。

更變態的，萬一是出現隨機數什麼的參與運算呢？（應該不會）

如果f（x）定義域不連續怎麼辦，其實這也是個大問題

題目給的限定條件有些少，容易讓人瞎猜。