素數和質數是一樣的，為什麼有兩個名字？

12-02

很多年前學的，再加上參考書不在身邊，所以我就先拋磚引玉一下，如果有錯希望大家來補充完整。

我一直理解irreducible＝質數，prime＝素數。UFD的很重要的一條性質就是，每個irreducible的元素都是prime的。翻譯過來就是在UFD中，所有質元素都是素元素。但是到一般的環上，不是所有的質元素（irreducible）都是素元素（prime）。反例《近世代數》或《代數數論》應該會講。下面給出irreducible和prime的定義

[定義1] 質性: a稱為質數，當且僅當a沒有非平凡因子（也就是說a不能進一步分解）
[定義2] 素性. p稱為素數，當且僅當對任意的x和y，如果p|xy，那麼p|x或p|y必居其一，或兩者都成立。

自然數上兩個定義是等價的（需要證明，但顯而易見，留作練習，略），而在其他代數結構上則是不一樣的。

素數是從它與所有非零自然數互素（除1和它本身外），這裡互素是指最大公因子為1，在抽象代數中是指兩理想的和是單位理想。而質數是傳統意義上的概念，指的是不可約元，即除1及自身外，沒有可以做為它的約元的元素，舉個例子，在R( $sqrt{-5}$ )中，（1+ $sqrt{-5}$ ）（1- $sqrt{-5}$ )=6=2*3,而,2,3是不可約元，但不是素數，因此用素數這個名稱逐漸成為了主流。

英文prime number好像中國大陸翻譯為質數，台灣、香港及海外華人文化翻譯為素數。中國大陸和台灣在漢語文化上很多差異，尤其是科技翻譯辭彙。

質數是中國的傳統叫法，素數是國際上數學界的通用叫法。