在線性代數中A的平方等於A,可以得到什麼信息?
為了使
根據
設
是向量空間,一個線性運算元
叫做投影運算元如果
。
用表示
的值域,
表示
的零空間。投影運算元有下面的性質:
- 特徵值為
或
。
- 線性運算元
也是投影運算元,並且
。因此如果
,那麼
。
。
因為,因此每個向量
可以唯一地寫成如下的形式
其中,同時作用
得到
這說明就是投影運算元
。
設的維數為
,
的維數為
。取
的一個基
和
的一個基
就構成了
的一個基
很明顯在這個基下的矩陣
這裡表示
的單位矩陣。因此
可以對角化,並且
。
A是一個投射矩陣,它的Jordan form和它的相抵標準型一樣
它是一個投影
具體來說,若A是n階方陣(必須是方陣),則可按左乘定義n維線性空間V上的一個線性變換,暫且也記為A。
這樣A在某組基下的方陣就為diag(I O)
,看得出它的特徵值只有0與1,看得出kerA與ImA的直和為V
在證明群表示論中的Maschke定理時,可以用到投影的這種性質
Idempotent matrix
projection
它的特徵值是0或1。
這說明,A可以對角化,而且A的特徵值只有0或者1.
證明方法一如下:
A^2=A ==&> A(A-I)==0
如果A可逆,則 A-I=0 ==&> A=I,A可逆成立。此時A的特徵值只有1且可以對角化
如果A-I可逆,則 A=0 ==&> A-I=-I,所以A-I可逆當然也成立。此時A的特徵值只有0,也算可以對角化吧。
如果A與A-I都不可逆,說明A與A-I都不是滿zhi(抱歉,這個字不知道怎麼打出來)。
說明 kenel(A) 與kenel(A-I)都非空,含有非零向量。
現在由於 A(A-I)=0 ==&> 對於任意的向量x, 有 A(A-I)x=0.
即A( (A-I)x )=0,說明只要是 A-I的像(用Im表示),就一定是A的kenel
說明 Im(A-I) &<= Kenel(A) 即A-I的像的維度小於等於A的核的維度
兩邊同時加上 Kenel(A-I)得到:
Im(A-I)+Kenel(A-I) &<= Kenel(A) + Kenel(A-I) 由於左邊等於n(假設A的size是n*n)
所以有 Kenel(A)+Kenel(A-I)&>=n
好了,Kenel(A)裡面的向量是什麼向量?
即 Ax=0,所以Kenel(A)裡面是特徵值為0的特徵向量。
同理,Kenel(A-I)是特徵值為1的特徵向量,有個定理是說不同特徵值的特徵向量時線行無關,既然線性無關,你們兩個特徵子空間的維數加起來不能超過整個空間的維數吧。
所以Kenel(A)+Kenel(A-I)&<=n
所以Kenel(A)+Kenel(A-I)=n成立。
桶子們,上式說明什麼問題?特徵值0的特徵子空間和特徵值1的特徵子空間加起來是就是整個子空間,這就說明A可以對角化而且A的特徵值只有0或者1.
證畢。
證明方法二根據上面有個匿名用戶的想法得到的:
證明如下:
對於任意的x,有A(Ax)=(Ax),說明A將 Ax 映射到 A的像空間,這說明Ax與A的核的交集的維度是0(即交集僅僅為0向量),注意到Ax本身就是A的像空間,所以也就是說A的像空間和A的核空間的交集是0向量。然而像空間和核空間的維度之和是n,所以像空間和核空間的直和構成Rn。OK,現在注意到核空間向量都是特徵值為0的特徵向量。另一方面,由於A(Ax)=Ax,所以像空間向量都是特徵值為1的特徵向量,他們的直和就構成了整個空間Rn。所以A可以對角化,取核空間的一組基以及像空間的一組基構成新的基P,則該線性變換在P下的矩陣B是對角矩陣,對角元素是0或者1(核空間基對應0,像空間基對應1).且PB=AP。(本來想寫B=P的逆*A*P的,P的逆不知道怎麼打出來)。還是這種方法更加深刻,把空間分的更加清晰。
A^2-A=0
說明A的零化多項式是 f(x)=x^2-x=x(x-1)
A的最小多項式是零化多項式的因子:
情況一:最小多項式d(x)=x
由於最小多項式只有單根0,說明A可以對角化,且特徵值為0
情況二:最小多項式d(x)=x-1
最小多項式只有單根1,說明A可以對角化,且特徵值為1
情況三:最小多項式d(x)=x(x-1)
最小多項式有單根0,1說明A可以對角化,且特徵值為0,1
翻譯一下成線性代數能懂的方式。
一般情況,對一個Rn到Rn上的線性映射(理解成n階方陣A),它的像空間(Ax)的維數,加上零空間(Ax=0的解)維數之和應該等於n。如此一定會想,那零空間加上像空間(也就是兩個空間中的元素做線性組合成的新空間)是不是等於Rn呢?因為Rn就是n維的啊!
可惜,答案是否定的,通常像空間和零空間有交集(也即是存在x使得Ax=y且Ay=0,特別的對於冪零陣A^2=0,其像空間一定等於零空間),所以兩個空間加在一起,排除掉交集,就不是n維的了,比如冪零陣時,像空間等於零空間。
而冪等陣恰好有很好的性質使得像空間加上零空間等於Rn。
考慮A的任一特徵值a及對應的特徵向量x,有:
ax=Ax=A(Ax)=A(ax)=a(Ax)=(a^2)x。
於是(a^2-a)x=0。
由於x非0,故a^2-a=0。(注意這就是該方程是所謂的A^2-A=0的特徵方程的原因。)
所以a=0或1。
這說明A的所有特徵值只能為0或1。
故A是一個半正定型。
剛看出來一個投影運算元發現這題都被人答的差不多了…不開心…
讓我來用一個比較有意思的角度理解這個問題(結論差不多不過要簡單很多)
A為n階矩陣,可以看做是n維線性空間上的線性變換K對應某個基下的矩陣
假設A的列為{a_1,a_2.....a_n}
A* {a_1,a_2.....a_n}={a_1,a_2......a_n}
現在貌似沒什麼,我們把A寫進去
{A*a_1,A*a_2......A*a_n}={a_1,a_2.....a_n}
是不是有點意思了。。。我們再把列分開看
A*a_1=a_1
A*a_2=a_2
......
A*a_n=a_n
現在應該能看出來了 A的非零列其實就是線性變換K的特徵向量, 特徵值為1,其中的極大無關組就是每個特徵子空間的基.
那K會不會還有其他特徵值呢?
讓我們故技重施
把A移項 A(A-I)=0 按列拆分
很快就發現 A-I 的非零列其實就是線性變換K的特徵向量,不過特徵值為0. 極大無關組就是特徵子空間的基
那K還會不會有更多特徵值呢?
答案是不會
原因是 A-(A-I)=I
即A和A-I的列(零列就沒意思了)能組合成V的一組基,就是說A-I的列的無關組和A的列的無關組可以組合成整個空間。
即所有特徵子空間直和為V 那麼K當然不會有其他特徵值了.
不太會用代碼打數學公式,不好意思
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