在線性代數中A的平方等於A，可以得到什麼信息？

12-02

為了使 $A^2$ 定義良好， $A$ 必須是方陣。設 $A$ 是各項都在數域 $K$ 中的，即 $Ain M_{n imes n}(K)$ ，考慮 $A$ 對應的線性變換 $L_A:K^n o K^n$
$L_Ax:=Ax,quad xin K^n$
根據 $A^2=A$ 可以得到 $L_A^2=L_A$ ，這樣的線性運算元叫作投影運算元。

設 $V$ 是向量空間，一個線性運算元 $P:V o V$ 叫做投影運算元如果 $P^2=P$ 。

用 $R(P)$ 表示 $P$ 的值域， $N(P)$ 表示 $P$ 的零空間。投影運算元有下面的性質：

特徵值為 $1$ 或 $0$ 。
線性運算元 $Q=I_V-P$ 也是投影運算元，並且 $R(P)=N(Q),N(P)=R(Q)$ 。因此如果 $vin R(P)$ ，那麼 $Pv=v$ 。
$V=R(P)oplus N(P)$ 。

因為 $V=R(P)oplus N(P)$ ，因此每個向量 $vin V$ 可以唯一地寫成如下的形式
$v=u+w$
其中 $uin R(P), win N(P)$ ，同時作用 $P$ 得到
$Pv=Pu+Pw=u+0=u$
這說明 $P$ 就是投影運算元 $P_{V o R(P)}$ 。
設 $V$ 的維數為 $n$ ， $R(P)$ 的維數為 $k$ 。取 $R(P)$ 的一個基 $(v_1,cdots,v_k)$ 和 $N(P)$ 的一個基 $(v_{k+1},cdots,v_n)$ 就構成了 $V$ 的一個基
$(v_1,cdots,v_k,v_{k+1},cdots,v_n)$
很明顯 $P$ 在這個基下的矩陣
$[P]=egin{pmatrix} I_k0_{k imes n-k}\ 0_{n-k imes k}0_{n-k imes n-k} end{pmatrix}$
這裡 $I_k$ 表示 $k imes k$ 的單位矩陣。因此 $P$ 可以對角化，並且 $mathrm{rank}(P)=mathrm{tr}(P)$ 。

A是一個投射矩陣，它的Jordan form和它的相抵標準型一樣

它是一個投影
具體來說，若A是n階方陣（必須是方陣），則可按左乘定義n維線性空間V上的一個線性變換，暫且也記為A。
這樣A在某組基下的方陣就為diag（I O）
，看得出它的特徵值只有0與1，看得出kerA與ImA的直和為V
在證明群表示論中的Maschke定理時，可以用到投影的這種性質

Idempotent matrix

projection

它的特徵值是0或1。

這說明，A可以對角化，而且A的特徵值只有0或者1.
證明方法一如下：
A^2=A ==&> A(A-I)==0
如果A可逆，則 A-I=0 ==&> A=I,A可逆成立。此時A的特徵值只有1且可以對角化
如果A-I可逆，則 A=0 ==&> A-I=-I,所以A－I可逆當然也成立。此時A的特徵值只有0，也算可以對角化吧。
如果A與A-I都不可逆，說明A與A－I都不是滿zhi(抱歉，這個字不知道怎麼打出來)。
說明 kenel(A) 與kenel(A-I)都非空，含有非零向量。
現在由於 A(A-I)=0 ==&> 對於任意的向量x，有 A(A-I)x＝0.
即A( (A-I)x )=0,說明只要是 A-I的像(用Im表示)，就一定是A的kenel
說明 Im(A-I) &<= Kenel(A) 即A-I的像的維度小於等於A的核的維度
兩邊同時加上 Kenel(A-I)得到：
Im(A-I)+Kenel(A-I) &<= Kenel(A) + Kenel(A-I) 由於左邊等於n（假設A的size是n*n）
所以有 Kenel(A)+Kenel(A-I)&>=n
好了，Kenel(A)裡面的向量是什麼向量？
即 Ax=0，所以Kenel(A)裡面是特徵值為0的特徵向量。
同理，Kenel(A-I)是特徵值為1的特徵向量，有個定理是說不同特徵值的特徵向量時線行無關,既然線性無關，你們兩個特徵子空間的維數加起來不能超過整個空間的維數吧。
所以Kenel(A)+Kenel(A-I)&<=n
所以Kenel(A)+Kenel(A-I)=n成立。
桶子們，上式說明什麼問題？特徵值0的特徵子空間和特徵值1的特徵子空間加起來是就是整個子空間，這就說明A可以對角化而且A的特徵值只有0或者1.
證畢。

證明方法二根據上面有個匿名用戶的想法得到的：
證明如下：
對於任意的x，有A(Ax)＝(Ax),說明A將 Ax 映射到 A的像空間，這說明Ax與A的核的交集的維度是0（即交集僅僅為0向量），注意到Ax本身就是A的像空間，所以也就是說A的像空間和A的核空間的交集是0向量。然而像空間和核空間的維度之和是n，所以像空間和核空間的直和構成Rn。OK，現在注意到核空間向量都是特徵值為0的特徵向量。另一方面，由於A(Ax)=Ax,所以像空間向量都是特徵值為1的特徵向量，他們的直和就構成了整個空間Rn。所以A可以對角化，取核空間的一組基以及像空間的一組基構成新的基P，則該線性變換在P下的矩陣B是對角矩陣，對角元素是0或者1（核空間基對應0，像空間基對應1）.且PB＝AP。（本來想寫B＝P的逆*A*P的，P的逆不知道怎麼打出來）。還是這種方法更加深刻，把空間分的更加清晰。

其實很簡單。
A^2-A=0
說明A的零化多項式是 f(x)=x^2-x=x(x-1)
A的最小多項式是零化多項式的因子：
情況一:最小多項式d(x)＝x
由於最小多項式只有單根0，說明A可以對角化，且特徵值為0
情況二：最小多項式d(x)=x-1
最小多項式只有單根1，說明A可以對角化，且特徵值為1
情況三：最小多項式d(x)=x(x-1)
最小多項式有單根0，1說明A可以對角化，且特徵值為0，1

翻譯一下成線性代數能懂的方式。
一般情況，對一個Rn到Rn上的線性映射(理解成n階方陣A)，它的像空間(Ax)的維數，加上零空間(Ax=0的解)維數之和應該等於n。如此一定會想，那零空間加上像空間(也就是兩個空間中的元素做線性組合成的新空間)是不是等於Rn呢？因為Rn就是n維的啊！
可惜，答案是否定的，通常像空間和零空間有交集(也即是存在x使得Ax=y且Ay=0，特別的對於冪零陣A^2=0，其像空間一定等於零空間)，所以兩個空間加在一起，排除掉交集，就不是n維的了，比如冪零陣時，像空間等於零空間。
而冪等陣恰好有很好的性質使得像空間加上零空間等於Rn。

考慮A的任一特徵值a及對應的特徵向量x，有：
ax=Ax=A(Ax)=A(ax)=a(Ax)=(a^2)x。
於是(a^2-a)x=0。
由於x非0，故a^2-a=0。（注意這就是該方程是所謂的A^2-A=0的特徵方程的原因。）
所以a=0或1。
這說明A的所有特徵值只能為0或1。
故A是一個半正定型。

剛看出來一個投影運算元發現這題都被人答的差不多了…不開心…

讓我來用一個比較有意思的角度理解這個問題（結論差不多不過要簡單很多）
A為n階矩陣，可以看做是n維線性空間上的線性變換K對應某個基下的矩陣
假設A的列為{a_1,a_2.....a_n}
A* {a_1,a_2.....a_n}={a_1,a_2......a_n}
現在貌似沒什麼，我們把A寫進去
{A*a_1,A*a_2......A*a_n}={a_1,a_2.....a_n}
是不是有點意思了。。。我們再把列分開看
A*a_1=a_1
A*a_2=a_2
......
A*a_n=a_n
現在應該能看出來了 A的非零列其實就是線性變換K的特徵向量, 特徵值為1，其中的極大無關組就是每個特徵子空間的基.
那K會不會還有其他特徵值呢？
讓我們故技重施
把A移項 A（A-I）=0 按列拆分
很快就發現 A-I 的非零列其實就是線性變換K的特徵向量，不過特徵值為0. 極大無關組就是特徵子空間的基

那K還會不會有更多特徵值呢？
答案是不會
原因是 A-（A-I）=I
即A和A-I的列（零列就沒意思了）能組合成V的一組基，就是說A-I的列的無關組和A的列的無關組可以組合成整個空間。
即所有特徵子空間直和為V 那麼K當然不會有其他特徵值了.

不太會用代碼打數學公式，不好意思